1.44. У равнобочной трапеции с бо́льшим основанием а и острым углом α высота вдвое меньше меньшего основания. На меньшем основании, как на диаметре, построена окружность. Найдите радиус окружности, касающейся построенной окружности, большего основания и боковой стороны.
1.45. AB и CD — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности S1. С центром в точке D радиусом BD построена окружность S2. Из точки D проведены две прямые, пересекающие окружность S1 в точках P и Q и дугу AB окружности S2, заключенную внутри окружности S1, в точках M и N. Точки P и Q спроецированы на AB; P1 и Q1 соответственно — их проекции. Докажите, что фигура RMNQ равновелика треугольнику P1Q1D.
1.46. Через точку P, лежащую вне окружности с центром O и радиусом R, проходят две взаимно перпендикулярные секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках А и С (точка С лежит между P и А), а вторая секущая — в точках В и D (D лежит между P и В). Пусть Р1 — проекция P на AB, а M — одна из точек пересечения AB с окружностью, центр которой Р1, а радиус Р1О. Найдите длину МР.
1.47. Найдите угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, если точка их пересечения удалена от центра окружности на 3/5 ее радиуса и делит одну хорду пополам, а другую — в отношении 4 : 9.
1.48. Дан сектор ОАВ (O — центр) с центральным углом в 90° и радиусом R. На отрезке ОВ, как на диаметре, построена полуокружность, лежащая внутри сектора. Найдите радиус окружности, касающейся этой полуокружности и отрезков ОА и AB.
1.49. В круге проведена хорда AB, пересекающая диаметр DE круга в точке M и наклоненная к нему под углом φ. Дано, что 
, где p и q — известные числа. Из точки В проведена хорда BC, перпендикулярная к диаметру DE, и точка С соединена с точкой А. Найдите площадь треугольника ABC, если радиус круга равен R.
1.50. Площадь треугольника равна S, а длины его сторон образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна d. Найдите радиус описанной окружности.
1.51. В треугольнике ABC точка P лежит на стороне AB и AB = 2АР, точка Q — на стороне BC и BC = 4BQ, точка R — на стороне AC и AC = 5АВ. Отрезки PQ и BR пересекаются в точке T. В каком отношении точка T делит отрезок PQ?
1.52. В треугольнике PQR на стороне PQ взята точка N а на стороне РR — точка L. Отрезки QL и RN пересекаются в точке T. Дано QN = RL, QT : TL = m : n. Найдите PN : PR.
1.53. Две окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в точках M и N. Точка О2 лежит на первой окружности. Найдите периметр фигуры, являющейся пересечением данных окружностей, если
.
1.54. Найдите наибольшее возможное значение площади четырехугольника ABCD, если он вписан в окружность радиусом 1 и угол при вершине В меньше 45°.
Глава 2
Построения на плоскости
2.1. Пункты А и В находятся по разные стороны от реки, ширина которой постоянна, а берега прямолинейны. В каком месте надо возвести мост через реку, чтобы путь от одного пункта в другой был кратчайшим?
2.2. Постройте равносторонний треугольник ABC, если дана его сторона а и известно, что его стороны AB, AC и биссектриса AD (или их продолжения) проходят соответственно через три данные точки M, N, P, лежащие на одной прямой.