Никто не давал ученым права изменять значение общепринятых слов. Одно из замечательных следствий этой логики – Плутон все-таки планета! Однажды я предложил студентам своего курса проголосовать за это, и с результатом 451:0 победили те, кто считает Плутон планетой. Поскольку участников того голосования было больше, чем на заседании Международного астрономического союза, (МАС)[72], вынесшем противоположное решение[73], думаю, что верх все же одержали мои студенты. Никто не давал МАС полномочий решать этот вопрос. (А я, между прочим, член МАС.) Плутон – по-прежнему планета. Конец моей тираде. Вернемся к мнимым числам.
В моей преподавательской практике я видел немало хороших и умных студентов, терпение которых лопалось, когда начиналось изучение мнимых чисел. Как можно работать с тем, чего нет? При встрече с мнимыми числами практически у всех возникает ощущение, что такая математика становится слишком абстрактной, чересчур оторванной от реальности, чтобы ее можно было понять.
В духе отрицания пресловутого «научного языка» я объявляю, что мнимые числа совсем не воображаемые. Квадратный корень из −1 (√−1) в действительности существует. Чтобы понять, каким образом, давайте посмотрим на другие абстрактные числа. Существует ли 0? Древние римляне говорили, что нет. Они полагали самоочевидным, что ничто не может существовать. Как итог – в римских цифрах нет нуля. Римлянин, записывающий вычитание IV из IV, в качестве результата просто оставлял пустое место. Но как пустое место в качестве результата отличить от нерешенной задачи? Идея использования символа, обозначающего ничто, была бы для римлян слишком большим шагом вперед, который они так и не сделали (если только вы не считаете Птолемея римлянином). Предполагаю, что в то время некоторые математики (или, может быть, счетоводы) настаивали на введении такого символа: просто он был бы полезен. Но концептуально римлянам трудно было принять обозначение символом того, что было ничем. Нуль (0) ведь в реальности не существует, не так ли? Ведь он есть только в нашем воображении, правильно? Он ведь мнимый, верно?
Древние греки были на удивление более продвинутыми в математике. Архимед вывел формулу объема шара: 4/3πR³. Попробуйте вывести ее самостоятельно без дифференциальных вычислений. И все же даже у греков не было знака для обозначения нуля, по крайней мере до 130 года н. э., когда Птолемей в Александрии ввел его в ограниченное употребление. Греки, как и римляне, оставляли на месте нуля пустое место.
Когда моей дочери было пять лет, мы нередко развлекались незатейливой игрой. Я спрашивал: «Кто на заднем сиденье машины?» Она отвечала: «Никто». – «У этого “никого” окно открыто?» – «Нет». – «Но у меня-то окно открыто. Как же ты можешь говорить, что окно не открыто ни у кого?» «Папа!» – возмущалась дочь. И несмотря на свое расстройство, продолжала игру в слова. Это занятие ей нравилось, но она тогда еще не понимала, что я готовлю ее к абстрактной математике.
А как насчет отрицательных чисел? Вспоминаю учительницу математики в седьмом классе (она была самым плохим педагогом за всю мою жизнь), которая говорила, что отрицательных чисел не существует. «Просто притворитесь, что они есть», – твердила она. К счастью, я был довольно развитым учеником и поэтому решил, что она ошибается. Помню, как убеждал себя: «Отрицательное число похоже на то, что ты кому-то должен». Однако, полагаю, ее совет по поводу отношения к отрицательным числам знаменовал собой конец математики для половины класса. Многие мои соученики никогда больше не испытывали комфорта, производя операции с числами, которых не было. Для меня отрицательные числа существовали всегда.
В седьмом классе я уже сделал для себя вывод: числа не вещи, а мысленные категории, полезные при вычислениях. Существует ли какое-либо число в реальности? Или это просто абстракции, которые мы используем, чтобы правильно организовывать свои мысли? Вообще-то это философский вопрос, имеющий отношение к сути существования: им переполнены книги и статьи. (На моем рабочем столе оказалось издание под названием Does Santa Exist?[74] Эта серьезная книга раскрывает смысл слова «существовать».) Мы вернемся к этому при обсуждении некоторых новых идей в физике, которые могут или не могут существовать. Одной из них будет квантовая волновая функция. Другой – радиус Шварцшильда для черных дыр.
72
Международный астрономический союз (МАС; International Astronomical Union, IAU) – организация, объединяющая астрономические сообщества всего мира. Основан в 1919 г. в Брюсселе (Бельгия).
73
Решением 26-й Ассамблеи МАС (2006) Плутон был исключен из разряда планет. Планетой было решено считать тело, которое, наряду с прочими критериями, «вычищает» пространство на своей орбите. То есть кроме самой планеты и ее спутников, на гелиоцентрической орбите других тел находиться не может. Для Плутона это условие не выполняется, поэтому он был официально исключен из числа «настоящих» планет и отнесен к карликовым планетам.
74
Издана на русском языке: Каплан Э. Санта действительно существует? Философское расследование. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2015.