1,2,3,.…n–1,n
где a и b – симметричные пары для числа n.
Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние δ, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n.
Назовем числовое расстояние δ шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется
δ = (1,2,3,……… n). (1.8)
Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.
Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.
Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.
Доказательство. Из свойств натуральных чисел N+0 известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде
ni+1 = ni + 1, (1.9)
Исходя из вышесказанного в (1.9) можно записать
ni+δ = ni + δ, (1.10)
где δ число равное 1, 2, 3.….
Тогда можно записать, что и
ni-δ = ni – δ. (1.11)
Отсюда имеем
ni = ni-δ + δ. (1.12)
Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем
ni – ni-δ = ni+δ – ni = δ. (1.13)
Далее если принять ni+δ = b, ni-δ = a, ni = n, то в новых обозначениях можно записать
n – a = b – n = δ. (1.14)
Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е.
a = n – δ; b = n + δ.
Ввиду того, что δ = 1, 2, 3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.
В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.
2. Исследование множеств симметричных пар
Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,
C = {an,…ai,…a3, a2, a1, b1, b2, b3,… bi…bn }, (2.1)
где ai, bi. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).
Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества
A = {a1, a2, a3,…an } и множества B = {b1, b2, b3,…bn }. (2.2)
Очевидно C = A U B.
Для нашего примера эти множества будут
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.
Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (ai, bi).
Действительно, имеем a1 = n–1, a2 = n – 2, a3 = n – 3, …ai = n – i, …….. an-3 = 3, an-2 = 2, an-1 = 1, an = 0, и b1 = n + 1, b2 = n + 2, b3 = n + 3, …….. bi = n + i,……. bn-1 = n + n – 1, bn = n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью