Если вы помните правила матанализа[5], то вам будет нетрудно понять логику этой шутки и получить правильный ответ: r dr r. Если же вы относитесь к числу тех, кто приходит от матанализа в ужас или страдает от тяжелых воспоминаний, не волнуйтесь: сейчас еще не время начинать длинную лекцию о тонкостях этого предмета. Вместо этого нам предстоит найти ответ на более насущный вопрос: почему авторы «Симпсонов» включают сложные математические концепции в свой комедийный сериал?
В состав основной команды, работавшей над первым сезоном «Симпсонов», входило восемь умнейших комедийных сценаристов Лос-Анджелеса. Они стремились писать сценарии, в которых бы упоминались продвинутые концепции из всех областей человеческого знания, и матанализ относился к числу их главных приоритетов, поскольку два сценариста были страстными поклонниками математики. Именно эти два нерда придумали шутку с r dr r; и именно им следует отдать должное за то, что сериал «Симпсоны» стал орудием распространения математических шуток.
С одним из них, Майком Рейссом, я познакомился во время встречи со сценаристами «Симпсонов». Точно так же как Мэгги, он продемонстрировал свои математические способности еще будучи малышом, когда складывал кубики. Рейсс отчетливо помнит момент, когда понял, что кубики подчиняются бинарному закону в том смысле, что два самых маленьких кубика имеют такой же размер, как один средний; два средних кубика такого же размера, как один большой, а два больших кубика равны одному очень большому кубику.
Как только Рейсс научился читать, его интерес к математике перерос в любовь к головоломкам. Особенно его привлекали книги Мартина Гарднера, величайшего специалиста по математическим играм и развлечениям. Игривый подход Гарднера к математическим задачам нравился людям всех возрастов. Его друг однажды сказал: «Мартин Гарднер превратил тысячи детей в математиков, а тысячи математиков – в детей».
Сначала Рейсс прочитал книгу The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions («Неожиданное зависание и другие математические отклонения»), а затем начал тратить все свои карманные деньги на другие книги Гарднера. В возрасте восьми лет Рейсс написал Гарднеру письмо, в котором признался, что он его большой поклонник, а затем рассказал об одном интересном наблюдении, касающемся палиндромных квадратов, а именно, что эти числа содержат, как правило, нечетное количество цифр. Палиндромные квадраты целых чисел – это просто квадраты целых чисел, которые имеют такой же вид, если их записать в обратном порядке, например 121 (11²) или 5 221 225 (2285²). Восьмилетний мальчик оказался абсолютно прав, поскольку существует тридцать пять таких чисел меньше 100 миллиардов, и только в одном из них четное количество цифр – 698 896 (836²).
Рейсс неохотно признался мне, что его письмо Гарднеру также содержало один вопрос. Он спрашивал, является ли количество простых чисел конечным или бесконечным. Сейчас он несколько смущенно вспоминает об этом: «Я отлично помню то письмо и тот глупый, наивный вопрос».
Большинство людей посчитали бы, что Рейсс слишком строг к себе, восьмилетнему, потому что ответ далеко не так очевиден. Его вопрос основан на факте, что у каждого целого числа есть делители – числа, на которые оно делится без остатка. Простое число примечательно тем, что у него только два делителя – 1 и само число (так называемые тривиальные делители). Таким образом, 13 – это простое число, потому что у него нет нетривиальных делителей, а 14 – нет, поскольку его можно разделить на 2 и 7. Все числа являются либо простыми (например 101), либо их можно разделить на простые делители (например 102 = 2 × 3 × 17). Между числами 0–100 существует 25 простых чисел, между 100–200 – 21 простое число, а между 200–300 – всего 16 простых чисел, стало быть, количество простых чисел уменьшается. Тем не менее закончатся ли они со временем или их список бесконечен?
Гарднер с удовольствием рассказал Рейссу о доказательстве древнегреческого ученого Эвклида, который работал в Александрии около 300 года до нашей эры[6]. Эвклид был первым математиком, доказавшим существование бесконечного множества простых чисел. Как ни странно, он получил этот результат, выдвинув прямо противоположную гипотезу и применив к ней метод, известный как доказательство от противного. Один из способов объяснить подход Эвклида – начать со следующего смелого утверждения:
5
Возможно, тем читателям, которые подзабыли правила дифференциального и интегрального исчисления, необходимо напомнить следующее общее правило: производная от
6
Кстати говоря, по случайному стечению обстоятельств Гарднер жил на улице Эвклида, когда писал Рейссу о том, что у Эвклида есть ответ на его вопрос.