Синергетика. Основы методологии

В классической теории вероятностей вместо вектора/) вводится некоторая функция на множестве возможных исходов бифуркационного (случайного) события.

Рассматривается в элементарном случае конечное множество Ω элементов ω, которые мы будем называть элементарными исходами бифуркационного события и ξ(Ω) множество подмножеств из Ω. Элементы множества φ(Ω) будем называть совокупностями исходов бифуркационного события, а Ω — пространством элементарных исходов бифуркационного события.

Каждому элементу ω из Ω поставлено в соответствие неотрицательное действительное число p₁, — вероятность реализации i-го исхода бифуркационного события. При этом выполняется условие

В этом случае p₁, …, p_n суть вероятности элементарных исходов ω₁, …, ω_n или просто элементарные вероятности.

Каждому множеству A из ξ(Ω) поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью реализации совокупности исходов. Оно определяется как сумма вероятностей элементарных исходов, входящих в A:

где i_k — номера элементарных исходов, входящих в совокупность A_j.

Если P(A) > 0, то частное Р(В\А) = Р(АВ)/Р(А), где AB — пересечение множеств А и В, называется условной вероятностью реализации совокупности исходов В при условии реализации совокупности исходов. Отсюда непосредственно следует, что Р(АВ) = Р(В\А)Р(А).

Заключение по индукции даёт общую формулу Р(А₁А₂…А_n) = Р(А₁)Р(А₂\А₁)P(A₃\A₂\A₁₎…Р(А_n\А₁…А_n-1) (теорема умножения).

Отсюда получаем Р(А\B) = Р(А)Р(В\А)/Р(B), и далее формулу полной вероятности Р(В) = P(A₁)P(B\A₁) + P(A₂)P(B\A₂) +…+ P(А_n)P(B\А_n),

где А₁+А₂+…+ А_n = Ω и В — произвольная совокупность исходов, и формулу Байеса:

Введение вектора α = {α₁}, где α_i =Υр_i, позволяет вместо некоторой аддитивной меры, рассматривать метрический вектор единичной длины в евклидовом пространстве. В этом случае вся изложенная выше теория может быть переформулирована в терминах амплитуды вероятности.

Каждому множеству А из ξ(Ω) может быть поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Аp(А). Это число называется амплитудой вероятности реализации совокупности исходов А. Оно определяется как корень квадратный из суммы квадратов амплитуд вероятности элементарных исходов, входящих в А:

где i_k — номера элементарных исходов, входящих в совокупность А_j. Ар(Ω) = 1. Если А и B не пересекаются, то [Ap(A+B)]² =[Ар(А)]² + [Ар(В)]².

Каждому множеству А_j, состоящему из m_j элементарных исходов бифуркационного события, соответствует некоторый m_j-мерный евклидов вектор Ар(А_j) = {a_jk} k = 1,…,m_j, модуль которого равняется

При этом разложение множества А_j на сумму взаимно не пересекающихся множеств эквивалентно разложению вектора

на сумму взаимно ортогональных векторов, каждый из которых имеет координаты, равные амплитудам элементарных событий, входящим в множество, которое он характеризует, е_j — орт координаты, характеризующей i-й элементарный возможный исход бифуркационного события.

Формула Байеса переписывается в терминах амплитуды вероятностей следующим образом:

3. Случайные величины и их связь с параметром целого. Комплексный волновой вектор

Пусть дана однозначная функция s(ω) исхода бифуркационного события ω. Тогда функция Р_s, определённая формулой Р_s(А) = Р{s_-1(A)}называется вероятностной функцией s, а функция АР_s амплитудой вероятностной функции s.

Функция F_s (S) = Р_s (-бесконечность, S) = Р {s(ω) < S} называется функцией распределения случайной величины s.

Если свойства состояний системы являются периодическими функциями от s, с периодом h, то назовём величину s действием и вместо величины s введём спиральную переменную, путём отображения прямой линии s на цилиндрическую круговую спираль с основанием цилиндра единичного радиуса.