Качественный анализ итерационной системы или нелинейного дифференциального уравнения позволяет ещё до их решения определить особенности поведения моделируемой системы как нелинейного объекта не только в прошлом и настоящем, но и в будущем.
Начнём анализ с автономной итерационной системы.
Выполнение условия μn = F(μn) означает, что система находится в стационарном состоянии.
Стационарное состояние называется устойчивым и обозначается μSU, если существует некоторая область (окрестность μSU) в фазовом пространстве такая, что, как только процесс в какой-то момент времени пришел в состояние из этой области, то он начинает стремиться к устойчивому стационарному состоянию параметра целого μSU. Если такой области нет, т. е. если микроотклонение от точки, соответствующей стационарному значению μSU, приводит к существенным макроизменениям в течении процесса, состояние системы является неустойчивым стационарным состоянием.
В общем случае график μ2 = F(μ1), соответствующий итерационному соотношению, иллюстрирует закон эволюции системы и позволяет определять стационарные состояния системы и их тип.
Если кривая μ2 = F(μ1), определяемая соответствующим итерационным соотношением μn+1 = F(μn), пересекает прямую μ2 = μ1, в точке μS и |F1(μ1)| < 1, то μS — устойчивая стационарная точка, а если |F1(μ1)| > 1, то неустойчивая. Рассмотрим подробнее математическую модель автономного дифференциального уравнения первого порядка dμ/df = f(μ). Его общее решение имеет вид.
Если для какой-либо структуры в определенные моменты удалось экспериментально определить как величину выбранного нами параметра целого, так и его производной по времени, то затем, аппроксимируя функцию f(μ), например, при помощи дробно-рациональной функции 
можно найти коэффициенты аппроксимации ai, bi, соответствующие экспериментальным данным.
Во многих случаях поведение системы вблизи особых точек, соответствующих нулям или полюсам функции f(μ) описывается степенной функцией с рациональным или иррациональным показателем степени или логарифмической функции. При этом появляется многозначность поведения исследуемой модели. Величины f(μ) могут одновременно с различной степенью вероятности принимать конечное или бесконечное множество действительных и комплексных значений, физический смысл которых для реальных систем должен быть специально уточнён.
Экспериментальные данные показывают, что большинство структур после периода бурного роста выходят на стабильный режим. в котором структура находится значительное время.
Этот процесс можно описать, используя квадратичную функцию f(μ).
Рассмотрим так называемое логистическое уравнение, которое было подробно изучено в связи с анализом роста и стабилизации популяций животных, однако имеет широкое применение при исследовании различных систем. Оно имеет вид dμ/dt = f(1-μ).μ
Описываемый этим уравнением процесс имеет две стационарные точки μ=0 и μ= 1. Точка μ=0 неустойчива; это значит, что новые структуры могут появляться, в частности, при потере устойчивости старых. Точка μ=0 устойчива. Фазовая плоскость уравнения — зависимость dμ/dt от μ, представляющая собой параболу, наиболее сжато и полно характеризует особенности процесса.
В некотором смысле логистическое уравнение универсально, так как его интегральные кривые описывают процесс перехода динамической системы из одного — неустойчивого состояния в другое — устойчивое. Оно также характеризует типичный процесс роста и стабилизации структур различной природы. Его решение в случае μ< 1 имеет вид.
При стремлении μ к нулю в момент начала роста структуры логистическая кривая асимптотически приближается к экспоненциальной. Однако, по мере увеличения меры μ в структуре, описываемой этой кривой, развиваются процессы, препятствующие дальнейшему экспоненциальному росту структуры, и вблизи μ=0,5 различие кривых становится существенным. Логистическая кривая выходит на асимптоту μ = 1, а экспоненциальная кривая уходит вверх.