Заметим, что голоморфной, или аналитической, функцией переменных Xi, х2, ..., хп в окрестности точки яД х%,..., Хп называется функция, разложимая в ряд:
F (Xfo Х%, • • • > #n) === 21 ^SiS2 ... {%1 #i) ^
SA...Sn n
X (хг — 4)Ss ...(xn — 4)®*,
сходящийся при достаточно малых значениях \xi—Xi 1, j = 1, 2, ..., п.
Теорема Коши — Ковалевской в настоящее время формулируется следующим образом [140].
Дана система уравнений
д %ui
п, === Fi (t, Х\, * * • у хП1 Uiy ••• у Un у.. • dt 1
\ (1>
диз ...I
dt1''" х^1 . . . дх^п J
(h ] = I» 2,..., N’ ко -|- ki 4- • • • + кп = к^ ге*, ко ^
имеющая нормальную форму. Это значит, что среди прощн водных по t наивысшего порядка щ от каждой функции ии
72
входящих в систему, должна содержаться производная dntUi/dtnti причем система разрешена относительно этих производных.
Пусть теперь при t=t° заданы начальные значения неизвестных функций щ и их производных по t до порядка
П\ 1 :
|(&=0 соответствует сама функция щ).
При этом все функции <p.W заданы в одной и той же области G(xu ..., хп).
Задачей Коши называется нахождение решения системы (1) при начальных условиях (2). Если все функции Fi аналитичны в некоторой окрестности точки (t°, Xi°,
cp^ № '"к )и все функцииФ^}аналитичны в окрестности точки (t°, xt°,..., хп°), то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки (?°, ...,#п°), и притом единственное в классе аналитических функций. Здесь
При доказательстве Ковалевская пользовалась мажорантными функциями по Вейерштрассу:
а не по Коши:
Доказательство Ковалевской проще доказательства Коши, и, по словам Пуанкаре, она дала теореме ее окончательную форму. Теперь эта теорема входит в основные курсы анализа [141, с. 380]. Особенно же существенно в работе Ковалевской то, что она установила важное значение приведения системы к нормальному виду. Это выясняется на примере, данном Ковалевской, простейшего уравнения (уравнения теплопроводности), для которого задача Коши, если это уравнение написано не в нормальной форме, нё имеет голоморфного решения,— это было значительное
(? = 0, i,...,ni — 1)
(2)
atkodxkl , . . дх*пп ,=(0
73
открытие для того времени. (Бейерштрасс писал, что первоначально Ковалевская показала это для более сложного уравнения.)
Пример Ковалевской. Найти решение уравнения
0ф 02ф
’ dt дх2 5
удовлетворяющее условию ф(я, i) =1/(1—х) при ?=0. Нетрудно видеть, что если есть аналитическое решение, то оно должно представляться рядом по степеням U
со
(2tt)l
п\
tn
(1 _ (Г)2П-Ы
который, однако, расходится при всех t?=0. Следовательно, аналитического решения такого рода не существует.
О. А. Олейник в своем докладе «Теорема С. В. Ковалевской и ее роль в современной теории уравнений с частными Производными», сделанном й Институте проблем механики АН СССР в 1975 г. в связи с 125-летием со дня рождения С. В. Ковалевской, сказала, что теорема Ковалевской находит важные и существенные применения в исследованиях по теории уравнений с частными производными, выполненных вплоть до самого последнего времени, и тонкие современные исследования все в большей степени выявляют ее глубокий и завершенный характер.
Многих занимал вопрос о степени самостоятельности Софьи Ковалевской при разработке темы, поставленной Вейерштрассом. По этому поводу Бейерштрасс пишет Дюбуа-Реймону 25 сентября 1874 г.: «В диссертации, о которой идет речь, я — не считая того, что поправил многочисленные грамматические ошибки,—не принимал другого участия, кроме того, что поставил задачу перед автором. И в этом отношении я тоже должен заметить, что я, собственно, не ожидал другого результата по сравнению с известным из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Я был, чтобы оставаться при простейшем случае, того мнения, что степенной ряд от многих переменных, удовлетворяющий формально уравнению в частных производных, должен также быть всегда сходящимся внутри некоторой области и должен, следовательно, представлять тогда функцию, действительно удовлетворяющую дифференциальному уравнению. Что это не так, как Вы видите из рассмотренного в диссертации примера уравнения d<p/dt=d2y/dx2i было открыто, к моему большому изумле-
74
дню, моей ученицей совершенно самостоятельно, — и притом сначала для гораздо более сложных дифференциальных уравнений, чем приведенное,— так что она даже сомневалась в возможности получения общего результата; кажущиеся такими простыми средства, которые она нашла для преодоления возникшего таким образом затруднения, я высоко оценил как доказательство ее правильного математического чутья» [142, с. 204].