Вторая работа, представленная Ковалевской для присуждения степени доктора философии, относится к вопросу о форме кольца Сатурна. Это «Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме кольца Сатурна» [5]* Она посвящена следующей задаче.
Заполненное однородной массой кольцо, происходящее от вращения эллипса вокруг прямой, не пересекающей его, но лежащей в его плоскости и параллельной одной из его главных осей, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг этой прямой; Поверхность кольца покрыта бесконечно тонким слоем однородной жидкости, которая притягивается кольцом и, кроме того, центральным телом, центр тяжести которого совпадает с центром кольца. Спрашивается, могут ли быть определены элементы кольца (полуоси эллипса и расстояние его центра до оси вращения) и его угловая скорость так, чтобы жидкость сохраняла положение равновесия относительно поверхности кольца* Для это-* го необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось уравнение
где п — угловая скорость вращения, V — потенциал кольца в некоторой точке его поверхности, pi — расстояние этой точки до оси вращения, zt — ее расстояние до экваториальной плоскости, М — масса центрального тела, которая принимается сосредоточенной в его центре тяжести, С — постоянная.
Лаплас исследовал эту задачу в предположении, что расстояние центра производящего эллипса от оси вращения очень велико по сравнению с полуосями эллипса [143], что дало ему возможность заменить кольцо эллиптическим цилиндром.
Ковалевская принимает, что линия, производящая кольцо, очень мало отличается от эллипса и обладает осью симметрии, пересекающей при своем продолжении ось кольца под прямым углом, причем каждая прямая, параллельная
(i)
75
оси симметрии, пересекает кривую не более чем в двух точках. Она представляет уравнения поперечного сечения кольца в форме
V х2 + У2 =* 1 — я cos t,
V У (2)
z = a (? sin t + ?i sin 2? + ?2 sin 3? + ...),
где t пробегает значения между нулем и 2я: а, ?, ?i, ?2, постоянные. Таким образом, среднее между наибольшим и наименьшим расстоянием кривой (2) от оси вращения принято за единицу. При этом а считается малой величиной по сравнению с единицей, a ?±, ?2, ... и сумма их абсолютных значений — малыми по сравнению с ?. Ковалевская дает способ определения коэффициентов ?t, ?2, ... так, чтобы левая часть уравнения (1) была всюду отличной от постоянной на малую величину любого порядка относительно а, но ограничивается вычислением приближения второй степени. Она получает поправку к лапласовскому решению, дающую яйцевидные формы поперечного сечения кольца, и находит зависимость между угловой скоростью вращения п, массой тела М и параметрами а и ?. При этом она указывает, что от более точного определения поперечного сечения ее удержало, помимо трудностей вычисления, то обстоятельство, что по исследованиям Максвелла воззрение Лапласа о строении кольца Сатурна является сомнительным. Теперь кольца Сатурна считают состоящими из метеоров [144, с. 894].
Ковалевская указывает, что она занималась вопросом об устойчивости жидкого кольца (при массе центрального тела, равной нулю), представляющим большой теоретический интерес, но не получила определенных результатов6. Тиссеран в «Курсе небесной механики» [145] подробно изложил работу Ковалевской о кольце Сатурна, снабдив ее графиками и разъяснениями.
Третьей из представленных работ была статья «О приведении одного класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам эллиптическим» [2]. Для этой задачи не требовалось больших творческих способностей, но нужно было основательное знакомство с теорией абелевых функций, одной из труднейших теорий математического анализа.
Рангом р кривой ?г-го порядка называется число, на которое отличается действительное число двойных точек
6 Впоследствии была обнаружена неустойчивость такого кольца.
См.: Ламб Г, Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.
76
кривой от максимального числа, возможного для кривой этого порядка. При р=0 алгебраическая кривая имеет наибольшее число двойных точек, свойственное ее порядку, а именно
72 (п—1)(п—2).
Вместе с тем ранг алгебраической функции / (х, у) равняется числу дыр в канонической поверхности Римана для этой функции [146, с. 161].