Поверхность находящейся в равновесии фигуры должна быть перпендикулярна силе тяжести. Тогда маленький участок поверхности кажется горизонтальным. В противном случае этот участок будет наклонным, и жидкость потечет сверху вниз. Ясно, что шар уже не может служить фигурой равновесия. Она должна быть сжата у полюсов (рис.6). Чтобы найти поверхность тела T, нужно перевести выделенные курсивом слова на язык уравнений и решить их. Вы знаете немало примеров того, как коротенькая формула заменяет долгое и неуклюжее словесное описание. Здесь ситуация противоположна: коротенькая фраза, выражающая физический смысл явления, приводит к сложным и громоздким уравнениям. Ведь тяготение описывается тройным интегралом по телу, форма которого неизвестна! Задача о форме небесных тел далека от окончательного решения, хотя основные результаты получили еще классики: И. Ньютон, К. Маклорен, Дж. Дарвин (Великобритания), П. Лаплас, Э. Рош (Франция), К. Якоби, Л. Лихтенштейн (Германия), П.Л.Чебышёв, А.М. Ляпунов (Россия), С. Чандрасекар (Индия, США) и другие.
Рис.6. Силы, действующие на поверхностную частицу тела во вращающейся вокруг оси z системе отсчета: F1 — сила тяготения, F2 — центробежная сила, F — результирующая сила тяжести. Слева — сечение шара, справа — фигуры равновесия; ГГ — линия математического горизонта.
Не слишком быстро вращающееся однородное тело принимает форму сжатого эллипсоида вращения (эллипсоида Маклорена). Его параметры — большая и малая полуоси — однозначно определяются массой и угловой скоростью вращения (рис.7). Если вращать быстрее, появляются трехосные эллипсоиды (эллипсоиды Якоби). Их открытие — а они появились как решение некоторой системы уравнений — повергло ученый мир в изумление. Интуиция ясно говорила, что однородное вращающееся тело должно быть телом вращения, каламбур воспринимался как тавтология! Ан нет! Вращение тела не обязано давать тела вращения! Потом были открыты еще более экзотические тела: вращающиеся на боку груши и даже тела с волнистой поверхностью. Правда, подобная экзотика существует только на бумаге (употребим старое выражение, как-то неловко звучит «на электронных носителях»). Реальные тела вертятся медленно, и для них выполнена теорема Ляпунова: фигура равновесия осесимметрична и обладает экватором, т.е. каждое меридиональное сечение одинаково, северное и южное полушария одинаковы. Даже скучновато немного. Но природа изощренна и сумела обойти ограничения Ляпунова в тесных двойных и полуразделенных системах, где нарушено условие изолированности.
Рис.7. Формы вращающихся тел. Указаны последовательности фигур равновесия несжимаемых, «жидких» тел (сплошные линии) и сжимаемых, газовых тел (пунктир). Оси вращения у всех фигур на рисунке расположены вертикально.
Небесные тела лунных и более размеров резко неоднородны: плотность в центре существенно превышает плотность у поверхности. Для Земли — на порядок, для Юпитера — на 4-5 порядков, для Солнца — на 7 порядков. Так что однородные фигуры равновесия служат лишь крайне упрощенными моделями. Но в случае медленного вращения форму поверхности можно представить аналогичным (7) рядом Ляпунова:
ƒ(φ)= R[ƒ0(φ)+ƒ1(φ)+ƒ2(φ) +…] (8)
Тут требуются пояснения. Форму поверхности вращения естественно задавать уравнением r=ƒ(φ), связывающим широту φ с расстоянием от поверхности до центра масс r функциональной зависимостью ƒ. Таков смысл левой части (8). В правой части R — характерный размер тела, например, радиус равновеликого шара. Тогда ƒ0 тождественно равна единице, так что в нулевом приближении тело является шаром r=R — const. Остальные члены ряда дают малые поправки, причем ƒs пропорциональна qs. Здесь q=ω2R3/(GM) представляет собой безразмерный малый параметр, равный отношению центробежной силы к силе тяготения на экваторе шара массы М и радиуса R. Для Земли, Юпитера, Солнца q равно соответственно 0,0034; 0,083; 0,00002. Наибольшим значением q=0,139 в Солнечной системе обладает Сатурн.