Рис.11
Задача о движении КА в гравитационном поле Земли и Солнца математически тождественна задаче о движении в поле Земли и Луны. Тут тоже существуют периодические орбиты и точки либрации. Более того, они уже используются на практике. Космический аппарат SOHO для исследования процессов на Солнце находится все время на гало-орбите вблизи точки L1.
Решения задачи о движении объекта в окрестности двух массивных тел оказывается очень полезным, и не только в приложении к Солнечной системе: они используются и при изучении движения вещества в двойных звездных системах, и в звездных скоплениях, и в системах галактик. Но нужно помнить, что все эти полезные решения получены при определенных предположениях. Например, точки Лагранжа существуют в рамках ограниченной задачи: два тела имеют конечные массы (любые; обе массы могут быть даже равны друг другу), а третья бесконечно мала (у нас это космический аппарат). Движение в окрестности коллинеарных точек либрации L1, L2, L3 всегда неустойчиво. Устойчивость движения в окрестности треугольных точек Лагранжа L4, L5 зависит от соотношения между массами основных тел. Обозначим массы основных тел через m1≥m2. Введем безразмерный параметр µ, выражающий отношение этих масс:
µ=m2/(m1+m2)
А.М. Ляпунов доказал, что движение в окрестности треугольных точек либрации устойчиво в первом приближении при 27µ(1—µ)<1, что равносильно условию
µ<µ0=0,0385209.
Для системы Земля-Луна µ<(1/3)/µ0, значит, треугольные точки либрации устойчивы (при отсутствии не учтенных в задаче возмущений!). А вот для системы Плутон-Харон µ>3,7µ0. Устойчивости нет. В системах двойных звезд, как правило, µ>µ0 и движение неустойчиво.
Итак, у нас в запасе внушительный набор орбит, по которым можно двигаться долго-долго, не затрачивая ни малейших усилий. Но как попасть туда? Будем считать, что мы уже вышли в космос на круговую орбиту искусственного спутника Земли. А теперь нам надо перейти на более высокую орбиту. Тоже круговую и лежащую в той же плоскости. Имея супер-ракету, можно перелететь с орбиты на орбиту множеством способов. Но современные ракеты пока не позволяют развивать скорости в сотни километров в секунду, так что не все способы реализуемы. А поскольку каждый лишний грамм груза на борту — все равно что кирпич в рюкзаке у туриста, из возможных способов следует выбрать оптимальный, т.е. требующий минимального количества топлива.
Реактивные двигатели работают без перерыва несколько минут, тогда как перелеты длятся часы, а межпланетные — месяцы и годы. Так что можно считать без большой ошибки, что космический корабль практически мгновенно получает добавку скорости (как говорят, к аппарату прикладывается импульс скорости). Чтобы уйти с орбиты старта, нужен по крайней мере один импульс υ1. Чтобы остаться на орбите финиша — еще один υ2. Так называемая характеристическая скорость υ1+υ2, а с ней и расход топлива, будут минимальными, если импульсы прикладывать по касательным (рис.12). Это было доказано еще в 1920-е гг. В. Гоманом в Германии и Ф.А. Цандером у нас.
Рис.12
В космосе все движения обратимы. Точнее, если все скорости всех тел изменить на противоположные, то они будут двигаться по тем же орбитам, но в противоположную сторону. В частности, если все стрелки на рис.12 перевернуть, то получим тоже допустимые движения. Это значит, что оптимальный перелет с высокой на низкую орбиту — тот же эллипс Гомана-Цандера с теми же импульсами υ2 и υ1, но на этот раз не разгонными, а тормозными, в результате чего в дальнейшем можно ограничиться перелетами на более высокие орбиты.
Отнюдь не всегда начальная и конечная орбиты лежат в одной плоскости. Существенное изменение плоскости орбиты — задача, непосильная для современных ракет (опять космический парадокс: автомобилю трудно забираться на гору, но ничего не стоит свернуть направо). Действительно, чтобы повернуть плоскость орбиты на 60°, по правилу векторного сложения скоростей требуется импульс, равный скорости движения КА, т.е. 8 км/с для низких спутников Земли.
Но задача о стыковке двух ИСЗ решается и для совсем разных орбитальных плоскостей, лишь бы совпадали их наклоны к экватору. Действительно, плоскости орбит близкого и далекого ИСЗ из-за влияния сжатия Земли вращаются вокруг полярной оси и притом с разными угловыми скоростями. Достаточно выждать неделю-другую, пока плоскости орбит не совпадут, тогда и надо включать двигатели по описанной схеме.