Оказывается, ставка играет главную роль в обобщении предположения Аристотеля с тем, чтобы включить неопределенность. В 1560-х гг. итальянский математик Джероламо Кардано разработал первую математически точную теорию вероятности, используя в качестве основного примера игру в кости. (К сожалению, эта работа была опубликована лишь в 1663 г.[23]) В XVII в. французские мыслители, в том числе Антуан Арно и Блез Паскаль, начали — разумеется, в интересах математики — изучать вопрос рационального принятия решений в азартных играх[24]. Рассмотрим следующие две ставки:
А: 20 % вероятности выиграть $10.
Б: 5 % вероятности выиграть $100.
Предложение, выдвинутое математиками, скорее всего, совпадает с решением, которое приняли бы вы: сравнить ожидаемую ценность ставок, то есть среднюю сумму, которую можно рассчитывать получить с каждой ставки. В случае А ожидаемая ценность составляет 20 % от $10, или $2. В случае Б — 5 % от $100, или $5. Так что, согласно этой теории, ставка Б лучше. В теории есть смысл, поскольку, если делать одну и ту же ставку снова и снова, игрок, следующий правилу, в конце концов выиграет больше, чем тот, кто ему не следует.
В XVIII в. швейцарский математик Даниил Бернулли заметил, что это правило, по-видимому, не работает для больших денежных сумм[25]. Рассмотрим, например, такие две ставки:
А: 100 % вероятности получить $10 000 000 (ожидаемая ценность $10 000 000).
Б: 1 % вероятности получить $1 000 000 100 (ожидаемая ценность $10 000 001).
Большинство читателей этой книги, как и ее автор, предпочли бы ставку А, несмотря на то что ожидаемая ценность призывает к противоположному выбору! Бернулли предположил, что ставки оцениваются не по ожидаемой денежной ценности, а по ожидаемой полезности. Полезность — способность приносить человеку пользу или выгоду — является, по его мысли, внутренним, субъективным качеством, связанным, но не совпадающим с денежной ценностью. Главное, полезность отличается убывающей доходностью по отношению к деньгам. Это означает, что полезность данной суммы денег не строго пропорциональна сумме, но возрастает медленнее ее. Например, полезность владения суммой в $1 000 000 100 намного меньше сотни полезностей владения $10 000 000. Насколько меньше? Спросите об этом себя! Какими должны быть шансы выиграть $1 млрд, чтобы это заставило вас отказаться от гарантированных $10 млн? Я задал этот вопрос своим студентам, и они ответили, что около 50 %, из чего следует, что ставка Б должна иметь ожидаемую ценность $500 млн, чтобы сравниться с желательностью ставки А. Позвольте повторить: ставка Б была бы в 50 раз выше ставки А в денежном выражении, но обе ставки имели бы равную полезность.
Введение понятия полезности — невидимого свойства — для объяснения человеческого поведения посредством математической теории было потрясающим для своего времени. Тем более что, в отличие от денежных сумм, ценность разных ставок и призов с точки зрения полезности недоступна для прямого наблюдения. Полезность приходится выводить из предпочтений, демонстрируемых индивидом. Пройдет два столетия, прежде чем практические выводы из этой идеи будут полностью разработаны и она станет общепринятой среди статистиков и экономистов.
В середине XX в. Джон фон Нейман (великий математик, в честь которого названа архитектура компьютеров — «архитектура фон Неймана»[26]) и Оскар Моргенштерн опубликовали аксиоматическую основу теории полезности[27]. Имеется в виду следующее: поскольку предпочтения, выражаемые индивидом, отвечают определенным базовым аксиомам, которым должен отвечать любой рациональный агент, выбор, сделанный этим индивидом, неизбежно может быть описан как максимизирующий ожидаемое значение функции полезности. Короче говоря, рациональный агент действует так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность.
23
Кардано, один из первых европейских математиков, занимавшихся отрицательными числами, разработал раннюю математическую трактовку вероятности в играх. Он умер в 1576 г., за 87 лет до опубликования своего труда: Gerolamo Cardano,
24
Работу Арно, впервые изданную анонимно, часто называют «Логикой Пор-Рояля» [по названию монастыря Пор-Рояль, аббатом которого являлся Антуан Арно. —
25
Понятие полезности: Daniel Bernoulli, «Specimen theoriae novae de mensura sortis»,
26
По большинству свидетельств, сам фон Нейман не изобретал эту архитектуру, но его имя значилось на начальном варианте текста влиятельного отчета, описывающего вычислительную машину с запоминаемой программой EDVAC.
27
Работа фон Неймана и Моргенштерна во многих отношениях является фундаментом современной экономической теории: John von Neumann and Oskar Morgenstern,