Вообще в топологии простое противопоставление конечного (замкнутого) и бесконечного (открытого) становится еще менее обоснованным, чем в метрической геометрии, их взаимоотношения становятся еще более сложными.
Следовательно, существуют по крайней мере две очень серьезные причины, в силу которых нельзя утверждать, что уточнение данных о кривизне метагалактического пространства позволит решить вопрос о том, конечна или бесконечна Вселенная. Во-первых, как уже говорилось выше (2.3.2), это было бы верно только в том случае, если бы мы могли быть уверены в том, что в природе реализуется наиболее удобная возможность — простейший случай пространства постоянной кривизны. Во-вторых, как мы видим сейчас, даже в этом случае все могла бы испортить каверзная топология.
2.4.2. Трудности, которые стоят на пути познания топологических свойств пространственно-временного континуума, можно (довольно условно, разумеется) разделить на две группы: математические и физические трудности. Начнем с первой группы.
Космология заинтересована в классификации возможных пространств (в математическом смысле) по их топологическим типам. Эта задача решена исчерпывающим образом только для двумерных пространств (поверхностей), во всяком случае, для замкнутых поверхностей. Задача изыскания всех топологических типов многообразий трех и большего числа измерений, по словам такого знатока топологии, как акад. П.С. Александров, «до настоящего времени остается безнадежно трудной».
Что касается наиболее важного для космологии вопроса о топологических свойствах пространства-времени (псевдориманова многообразия), то здесь, естественно, положение еще сложнее и, вероятно, таит в себе немало сюрпризов. Намек на то, что эти сюрпризы могут быть весьма разительного свойства, содержится в проблеме пространственных форм Клиффорда — Клейна, или локально евклидовых пространств[360]. Если рассматривать их в качестве подпространств римановых (псевдоримановых) пространств, то возникает возможность замкнутых во времени «миров», грубо говоря, возможность «путешествия в свое собственное прошлое», обращения направления времени вспять в результате перемещения в пространстве[361]. В какой мере и в каком смысле физически реализуема такая математическая возможность, это пока далеко не ясно, но ее существование, во всяком случае, является лишним предостережением против чрезмерно оптимистической оценки наших современных знаний о бесконечности.
Насколько я могу судить, те частные, но очень интересные результаты, которые получены в области топологии космологических моделей, получались двумя путями (или их сочетанием). Первый путь — это нахождение систем отсчета, наиболее подходящих к характеру задачи (подходящих с точки зрения тех или иных физических или математических критериев), и исследование свойств пространства или пространства-времени найденных систем отсчета. В качестве примера использования физических критериев можно указать на вакуольную модель Эйнштейна и Страуса[362] или известную абсолютно вращающуюся модель Геделя[363], которую считают важнейшим достижением теоретической космологии после Эйнштейна и Фридмана[364]. Пример использования математических критериев — ряд работ последних лет о внутреннем решении Шварцшильда (см., например5); к этим работам придется вновь обратиться в 2.4.4. Второй путь — это выяснение топологии данного многообразия путем его погружения в евклидово многообразие большего числа измерений. Так, например, пространство-время простейших (однородных изотропных) моделей может быть вложено в пятимерное евклидово многообразие; в силу равноправия пространственных координат можно ограничиться одной из них и тогда получаются чрезвычайно наглядные «диаграммы Робертсона[365]». В некоторых более сложных случаях четырехмерное пространство-время «не помещается» в пятимерное евклидово многообразие, и приходится прибегать к шестимерному[366]. Но и тогда можно получить довольно наглядные диаграммы в виде трех- и двухмерных проекций интересующего нас сечения многообразия.
Сочетая указанные пути, по-видимому, можно продвинуться довольно далеко в выяснении топологических типов физического пространства-времени.
2.4.3. Кривизна метагалактического пространства, если она вообще существует, т. е. отлична от нуля, столь мала, что не может быть и речи об определении ее с помощью, например, астрономической триангуляции. Она вычисляется весьма косвенным путем, исходя из предсказываемой теорией связи метрики пространства с теми или иными наблюдательными данными внегалактической астрономии, причем получение последних находится на самом пределе возможности даже крупнейших современных инструментов. Но принципиальная сторона вопроса ясна: возможность наблюдательной проверки метрических свойств пространства следует из релятивистской теории тяготения, связывающей метрическую геометрию с физикой.
Вопрос о наблюдательной проверке топологических свойств пространства, а тем более, пространства-времени, намного сложнее, ибо не существует физической теории, которая связывала бы эти свойства с каким-либо конкретным физическим «агентом» — полем, типом взаимодействия и т. п. Поэтому здесь связь с опытом носит еще более опосредованный характер, чем в случае метрических свойств. Можно, например, искать наблюдательного подтверждения тех решений уравнений тяготения, которые связаны с «необычной» топологией; если такое подтверждение обнаруживается, то это может рассматриваться как косвенное свидетельство в пользу существования у реального пространства именно таких топологических свойств.
На одном из примеров такого рода стоит остановиться подробнее из-за его принципиального значения для проблемы бесконечности и ее связи с гравитацией.
В течение ряда лет делались попытки устранить сингулярности из космологических решений уравнений Эйнштейна или, по крайней мере, выяснить, насколько тесно они связаны с самими уравнениями. Сейчас эту трудную задачу можно, видимо, считать решенной.
Общий случай произвольного распределения материи не приводит к появлению физической особенности и связанной с нею ограниченности времени, о которой шла речь в 2.3.2. Этот вывод относится и к важному, с точки зрения астрономических приложений, случаю пространственной сферической симметрии2. Однако история науки любит парадоксы, и почти одновременно с устранением недостатка теории стало выясняться, что это, возможно, вовсе и не недостаток, а плодотворная черта теории: реальные гравитационные процессы действительно могут иметь исходным или завершающим пунктом состояние материи со сверх-ядерной плотностью, взрывной деформацией пространства и вырожденной метрикой. Открытие «сверхзвезд»3 повлекло за собой очень интенсивное изучение таких процессов — гравитационного коллапса и антиколлапса. Можно даже говорить о зарождении на стыке астрофизики, космологии и космогонии новой научной дисциплины — релятивистской астрофизики.
Длительное время считалось, что существование сингулярной сферы Шварцшильда устанавливает предел геометрических размеров тела заданной массы, так что при гравитационном сжатии плотность вещества не может превзойти определенное конечное значение (см., напр.[367]). Вместе с тем подчеркивалось[368], что при очень высоких плотностях вещества уравнения Эйнштейна теряют силу. Начиная с известной работы Оппенгеймера и Волкова, постепенно росла уверенность, что при определенных условиях возможно катастрофическое сжатие гравитирующих масс «в точку» и взрывное расширение из «точки», что при этом выход энергии может на два порядка превышать выход при термоядерных реакциях, и, наконец, что «сверхзвезды», возможно, являются образцом таких процессов. Похоже, что границы Метагалактики также находятся внутри сферы Шварцшильда и космологическое расширение может интерпретироваться как антиколлапс Метагалактики[369].