Знакомство с математической классификацией величин чрезвычайно полезно как человеку, ведущему оригинальные исследования, так и человеку, просто изучающему науку. Наиболее показателен тот случай, при котором мы узнаем, что величины определённой системы находятся в новой науке в тех же математических соотношениях друг с другом, что и величины некоторой другой системы в старой науке, в которой эта система была уже сведена к математической форме и проблемы которой были уже разрешены математиками.
Так, когда Моссоти заметил, что Фарадей доказал аналогичность некоторых величин, относящихся к электростатической индукции в диэлектриках, и некоторых величин, относящихся к магнитной индукции в железе и других телах, он смог воспользоваться математическими исследованиями Пуассона, относящимися к магнитной индукции, переведя лишь их с магнитного языка на язык электричества и с французского на итальянский.
Другой пример, далеко не столь очевидный, — это пример аналогии, существующей между вопросами притяжения и вопросами установившейся теплопередачи, впервые отмеченный сэром Вильямом Томсоном. Пользуясь ею, мы можем применить многие результаты, полученные Фурье для теплоты, при объяснении электрического распределения и все результаты, полученные Пуассоном для электричества, для объяснения проблем теории теплоты.
Но ясно, что все аналогии такого рода основаны на значительно более глубоких принципах и что если бы мы имели настоящую математическую классификацию величин, то мы могли бы сразу открыть аналогию между любой представленной нам системой и другими системами величин в уже известных нам науках. Таким образом мы не теряли бы времени, так как пользовались бы математическими трудами тех, кто уже в основном разрешил проблемы того же рода.
Все величины могут быть объединены в одном отношении, а именно: в том, что их можно определить при помощи двух факторов. Первый фактор есть числовая величина, а второй — единица того же рода, как и определяемая.
Таким образом, можно сказать, что число управляет всем миром количеств, и четыре действия арифметики можно рассматривать как полное снаряжение математика.
Положение и форму, считавшиеся ранее в исключительном распоряжении геометров, остроумным построением координатных осей, положенных им в основу своих операций, Декарт заставил подчиниться законам арифметики.
Со времени этого большого шага, сделанного математикой, все величины рассматривались одинаковым образом и представлялись при помощи чисел или символов, означающих числа. Таким образом, как только какая-нибудь наука полностью приводилась к математической форме, предполагалось (по крайней мере в мире неспециалистов), что решение проблем в этой науке как умственный процесс производится без помощи каких бы то ни было физических идей этой науки.
Мне не приходится говорить, что это неправильно и что при решении физических проблем математикам оказывает большую помощь знание науки, в которой эта проблема встречается.
В то же время я думаю, что для успеха науки как в области открытий, так и в области распространения её было бы весьма полезно, если бы обращали больше внимания непосредственно на классификацию величин.
Чрезвычайно важное различие было проведено Гамильтоном, разделившим величины, с которыми он имел дело, на скаляры, полностью изображаемые одной числовой величиной, и векторы, требующие для своего определения трёх числовых величин.
Изобретение исчисления кватернионов есть шаг вперёд к познанию величин, связанных с пространством, сравнимое по своему значению лишь с изобретённой Декартом системой координат. Идеи этого исчисления, отвлечённые от его действий и символов, могут быть чрезвычайно полезны во всех областях науки.
Можно предположить, что другим важным шагом вперёд в развитии науки явилось бы изобретение метода, столь же подходящего для представления динамических величин. Подобно тому как наши представления о физической науке становятся более жизненными при замене чисто числовых идей картезианской математики геометрическими идеями гамильтоновской математики, так в более высоких пауках идеи могли бы получить ещё более высокое развитие, если бы их можно было выразить на языке, столь же соответствующем динамике, насколько гамильтоновский соответствует геометрии.