Объяснение этих пар сил требовало введения второй неподвижной среды, не принимающей участия во вращении первой среды, но действующей на первую своими восстанавливающими силами.
В. Томсон выдвинул идею о модели квазижёсткого эфира, а также стремился представить эфир при посредстве модели несжимаемой жидкости, находящейся в турбулентном движении.
Анализируя большое число различных гипотез, относительно строения и свойств эфира, Лоренц писал: «Эти теории имели некоторый успех, но нужно признать, что они не дают особого удовлетворения, так как становятся все более искусственными по мере возрастания количества случаев, требующих детального объяснения. В последнее время механические объяснения происходящих в эфире процессов все более отступают на задний план. Для многих физиков основной частью теории является количественное описание явлений, как, например, данное в уравнениях Максвелла...»57
В. Томсон стремился преодолеть затруднение, суть которого в том, что в эфире распространяются поперечные колебания и, следовательно, проявляются свойства твёрдых тел, но одновременно он не оказывает никакого сопротивления движущимся сквозь него телам. В. Томсон (Кельвин) утверждал, что эфир нельзя себе представлять сплошным. Эфир охвачен по всему объёму сильными вихрями; он весь состоит из вращающихся масс, оси вращения которых находятся в хаотическом движении. Вращающиеся массы в силу свойств вихрей легко сдвигаемы друг относительно друга, в то же время невозможно повернуть отдельные ячейки около любой оси. Гиростатическая модель эфира, в конечном счёте исходит не из континуальных свойств, а из атомистических. В. Томсон выдвигал немало интересных модификаций эфира, но они не достигли цели. В 1910 г. Планк писал: «Чтобы постигнуть строение эфира, были исчерпаны все предложения и комбинации, какие только можно себе представить; на этом поприще самым деятельным среди великих физиков оставался до конца своей жизни лорд Кельвин. И обнаружилось, что из единой механической гипотезы невозможно вывести электродинамические процессы в свободном эфире...»58 Наличие множества различных моделей в пределах одной теории казалось крайне парадоксальным. Эту трудность преодолел Анри Пуанкаре.
Он внёс существенный вклад в обоснование максвелловой электродинамики и в выяснение её принципиальных теоретических основ. Он показал, что если французские учёные, начиная с Лапласа и кончая Коши, исходили из точно высказанных гипотез и следствия из этих гипотез, выведенных с математической строгостью, сравнивали с опытом, то метод Максвелла был иным. Максвелл, в отличие от многих физиков конца XVIII — начала XIX в. не давал механического объяснения электричества и магнетизма, он лишь доказывал возможность такого объяснения, и естественно, что уравнения Максвелла можно было идентифицировать с самой теорией. Из непосредственного опыта можно получить некоторое число параметров (q1, q2, … qn) и их измерить. Наблюдение даёт нам законы изменения этих параметров. Законы эти можно представить в форме дифференциальных уравнений, связывающих параметры между собой и со временем.
Для механического истолкования явления его надо, отмечает Пуанкаре, объяснить при помощи движения обычной материи или гипотетических частиц. Уравнения движения частиц m1, m2, … mp имеют вид:
m
i
𝑑²xi
𝑑t²
= -
∂U
𝑑xi
,
m
i
𝑑²yi
𝑑t²
= -
∂U
𝑑yi
,
m
i
𝑑²zi
𝑑t²
= -
∂U
𝑑zi
(1)
где (-U) — силовая функция от 3 p координат.
«Мы будем иметь полное механическое объяснение явлениям, если будем, с одной стороны, знать силовую функцию (-U) и, с другой стороны, сумеем выразить 3 p координат xi, yi, zi через n параметров»58a
Заменив координаты их выражениями через параметры, мы переходим к законам движения в форме Лагранжа
𝑑
𝑑t
⎧
⎪
⎩
∂T
∂q̇k
⎫
⎪
⎭
-
∂T
∂qk
+
∂U
∂qk
=0.
(2)
«Итак,— пишет Пуанкаре,— для того чтобы механическое объяснение явления было возможным, нужно, чтобы оказалось возможным найти две функции U и T, зависящие: первая — только от параметров q, вторая — от этих параметров и их производных; нужно, далее, чтобы T была однородной функцией второго порядка по отношению к этим производным и чтобы дифференциальным уравнениям, выведенным из опыта, могла быть придана форма (2). Справедливо и обратное предложение: всякий раз, когда можно найти эти две функции T и U, есть уверенность, что явленно поддаётся механическому объяснению»59. Далее Пуанкаре доказывает, что при наличии функций U(qk) и T(q̇k,qk) можно найти бесконечное множество механических объяснений явлений, и все они соответствуют частным особенностям опыта. «Теперь нетрудно понять основную идею Максвелла. Чтобы доказать возможность механического объяснения электричества, нам не нужно затруднять себя отысканием этого самого объяснения, достаточно знать выражения для двух функций T и U, которые обе являются составными частями энергии, образовать с их помощью уравнения Лагранжа и затем сравнить эти уравнения с экспериментальными законами»59a. Пуанкаре принадлежит также глубокий анализ амперовой электродинамики, её связи с гельмгольцевой электродинамикой и обоснование необходимости перехода к электродинамике Максвелла.