Другим преимуществом этой классификации является то, что она руководит нами в применении четырёх правил арифметики. Мы знаем, что можно применять законы сложения и вычитания только в том случае, если мы имеем дело с величинами одного и того же рода. В некоторых случаях мы можем перемножать или делить одну величину на другую, но в других случаях результат этого действия не имеет никакого рационального значения.
Профессор Ранкин указал, что физическая величина, называемая энергией или работой, может быть представлена в виде произведения двух множителей многими различными способами.
Размерность этой величины ML²/T² где L, M и T представляют собой конкретные единицы длины, массы и времени. Если мы разложим энергию на два множителя, из которых один будет заключать L², то оба множителя будут скалярами. С другой стороны, если каждый из них будет заключать L, то они оба будут векторами. Сама энергия всегда скалярная величина.
Так, если мы возьмём в качестве множителей массу и квадрат скорости, как это делается в обычных определениях живой силы или кинетической энергии, то оба множителя — скаляры, хотя один из них, квадрат скорости, не имеет своего определённого физического значения.
Другим разложением на, по-видимому, скалярные множители является разложение на объём и гидростатическое давление, хотя мы должны рассматривать здесь объём не сам по себе, но как величину, подверженную возрастанию и уменьшению. Это изменение объёма может происходить лишь на поверхности и вызывается изменениями поверхности в направлении нормали, так что оно есть не скалярная, а векторная величина. Также и давление — хотя в абстрактном представлении гидростатическое давление и скалярно — нужно представить себе приложенным к поверхности. Таким образом оно становится направленной величиной, или вектором.
Разложение энергии на векторные множители даёт результаты, всегда допускающие удовлетворительную интерпретацию их. Один из сомножителей представляют себе как тенденцию к какому-то изменению, а другой как само изменение.
Так, в элементарном определении работы её рассматривают как произведение силы на путь, по которому движется точка приложения силы, взятый в виде проекции на направление силы. На языке кватернионов она есть скалярная часть произведения силы на перемещение.
Можно рассматривать эти два вектора, силу и перемещение, как типичную пару векторов, произведение которых представляет своей скалярной частью некоторую из форм энергии.
Так, вместо разложения кинетической энергии на множители: «масса» и «квадрат скорости»,— из которых последний не имеет смысла, мы можем разложить её на «момент» и «скорость»—два вектора, которые в динамике материальной частицы имеют одинаковое направление, но в обобщённой динамике могут иметь различные направления, так что, беря их произведение, нужно помнить правило нахождения его скалярной части.
Но общий принцип разложения энергии на два множителя особенно ясно виден, когда мы имеем дело со сплошными телами и величинами, распределёнными в пространстве.
Когда мы рассматриваем энергию как нечто существенно присущее телу, мы можем измерять интенсивность количеством, заключённым в единице объёма. Это, конечно,— величина скалярная.
Из двух составляющих её множителей один относится к единице длины, а другой — к единице площади. Это даёт, с моей точки зрения, чрезвычайно существенное различие между векторными величинами.
Векторы, относимые к единице длины, я буду называть силами, употребляя, как мы увидим, это выражение в несколько обобщённом смысле. Операция интегрирования составляющей силы в направлении некоторой линии для каждого элемента этой линии всегда имеет физическое значение. В некоторых случаях результат интегрирования независим от пути между её начальной и конечной точками. Результат называется тогда потенциалом.
Векторы, относимые к единице площади, я буду называть потоками. Операция интегрирования составляющей потока, перпендикулярной к поверхности, для каждого элемента поверхности всегда имеет физический смысл. В некоторых случаях результат интегрирования по замкнутой поверхности не зависит, с некоторыми ограничениями, от положения поверхности. Результат выражает тогда количество некоторого рода вещества, либо существующего внутри поверхности, либо вытекающего из неё, соответственно физической природе потока.
В физике во многих случаях сила и поток всегда имеют одно и то же направление и пропорциональны друг другу. Поэтому одним часто пользуются для измерения другого; их обозначения часто вырождаются в одно, и оба эти представления смешиваются. Один из самых важных математических результатов открытия веществ, обладающих различными физическими свойствами в различных направлениях, заключался в том, что он позволил провести различие между силой и потоками, показывая нам, что их направления могут быть различны.