Наряду с этим Пуанкаре глубоко оценил сложнейшие проблемы электростатики Максвелла, внося значительный вклад в обоснование ряда проблем её. Мы вкратце остановимся лишь на некоторых из них.
Глубокая связь электростатики и теории потенциала, возникшая после открытия закона Кулона, оказалась плодотворной для обеих сторон; электростатика получила математический аппарат и методы, сложившиеся в теории притяжения, а сама эта теория, благодаря специфике проблем электростатики, обогатилась новыми задачами, новыми методами. Можно без преувеличения сказать, что начиная с работ Пуассона и Грина и кончая работами Ляпунова и Стеклова, все важнейшие исследования по теории потенциала прямо или косвенно были связаны с задачами электростатики.
Уже первые электростатические опыты Кулона (1786) позволили принципиально правильно поставить первую краевую задачу для уравнения Лапласа и стимулировали исследования Пуассона по решению этой задачи для сферы. Теорема Пуассона о разрыве нормальной производной потенциала простого слоя (1811) также была предвосхищена опытами Кулона.
Исследования Грина, приведшие к его знаменитым формулам и к так называемому методу функций Грина, были предприняты в связи с решением чисто электростатической задачи об отыскании связи между «потенциальной функцией» объёмных зарядов и соответствующей ей плотностью распределения электричества на поверхности проводника.
Метод электрических изображений В. Томсона обязан своим происхождением поискам путей, направленных на преодоление трудностей, встретившихся при рассмотрении некоторых задач электростатики, относящихся к сферическим проводникам59b.
Исследования Гаусса, Томсона, Дирихле и Римана, связанные с проблемами существования и единственности, возникли вместе с постановкой краевых задач и, таким образом, их генетическая связь с электростатикой очевидна. Эти проблемы были в сфере интересов Максвелла. Последующее их развитие привело к замкнутости теории в целом.
Метод арифметических средних К. Неймана был первым общим методом решения краевых задач теории потенциала, применимым ко всем достаточно гладким выпуклым поверхностям; потребностями электростатики были вызваны и исследования Неймана, связанные с распространением метода арифметических средних на поверхности, обременённые плоскими частями, рёбрами и угловыми точками60. Примерно к тому же времени относятся и исследования Робэна о распределении электричества на проводниках, приведшие к так называемому методу Робэна. Значение методов Неймана и Робэна состоит в том, что они не только устанавливали существование решения краевых задач теории потенциала, но и давали конструкцию, алгоритм самих этих решений. Поэтому они оказались в центре внимания всех исследований по теории потенциала последней трети XIX в. Эти исследования предпринимались с целью распространения методов Неймана и Робэна на класс поверхностей, более широкий, чем выпуклые, ибо выпуклые поверхности не удовлетворяли требованиям математической общности и, главное, представляли собой класс поверхностей, слишком узкий с точки зрения приложений теории потенциала, в частности приложений к электростатике.
С именем Анри Пуанкаре связан важный этап истории теории потенциала, лежащий на стыке классического направления этой теории, идущего от Грина и Гаусса, и нового теоретико-множественного и теоретико-функционального направления в математике. Три больших мемуара Пуанкаре60a, появившиеся один вслед за другим на протяжении короткого отрезка времени, сыграли благодаря богатству содержащихся в них новых идей выдающуюся роль и оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории потенциала и математической физике в целом.