С помощью метода изображений Томсона эта задача даёт возможность установить существование функции Грина, а значит, и решить внутреннюю задачу Дирихле.
Мы не станем останавливаться на некоторых остроумных усовершенствованиях метода выметания, сделанных Пуанкаре в этом же мемуаре. Укажем лишь, что Пуанкаре удаётся снять некоторые ограничения на рассматриваемые им поверхности и предложить такое видоизменение метода выметания, которое позволяет непосредственно (т. е. минуя построение функции Грина) доказать принцип Дирихле для указанного выше класса поверхностей при условии непрерывности функции, входящей в краевое условие задачи Дирихле.
Высказанные в связи с этим идеи Пуанкаре привели к глубокому проникновению в теорию потенциала методов теории функций, связанных с понятиями меры и ёмкости множеств, с теорией суб- и супергармонических функций, благодаря чему теория потенциала обогатилась новыми обобщениями в постановке и решении её задач.
В третьем из упомянутых выше мемуаров, вышедшем в 1896 г., Пуанкаре определяет некоторый класс поверхностей, содержащий выпуклые поверхности, для которого методы Неймана и Робэна сохраняют ещё свою силу. Для этих поверхностей Пуанкаре устанавливает следующее: если W — потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью ν≠const, то отношение J/J' интегралов вида ∫(ΔW)²𝑑i, взятых соответственно по внутренности и внешности (S), заключено в конечных и отличных от нуля пределах, не зависящих от νv. Опираясь на это предложение, Пуанкаре установил принцип Неймана для всех введённых им поверхностей.
Заслуга Пуанкаре в том, что он впервые обратил внимание на связь между принципом Неймана и существованием конечных и отличных от нуля пределов отношения J/J'. Именно эта связь послужила исходным пунктом в исследованиях Стеклова и Зарембы, которые, опираясь на основополагающие работы Ляпунова, смогли обосновать применимость методов Неймана и Робэна ко всем поверхностям Ляпунова. Метод Пуанкаре, как и многие другие методы решения электростатических задач, которыми Максвелл непосредственно не занимался, дополняли стройное здание электродинамики, понимаемой в широком смысле.
У. И. Франкфурт, М Г. Шраер
Теория цветов в исследованиях Максвелла
В первые годы своей научной деятельности Д. К. Максвелл активно интересовался проблемами, связанными с теорией цветов.
Следует отметить, что в то время теория цветов только складывалась. Первые работы в этой области относятся, правда, ещё к XVII в. и были выполнены в основном Ньютоном. XVIII век не внёс ничего существенного в изучение этой проблемы. И только в XIX в. возрождается интерес к ней и появляются многочисленные теоретико-экспериментальные работы. Ещё короче была история вопросов, связанных с цветовой слепотой: она впервые была описана в XIX в. известным английским химиком Дальтоном, который обнаружил у себя недостаток в цветовом восприятии.
Основы теории цветов были заложены И. Ньютоном. Он поставил перед собой задачу создать математическую теорию цветов61 и выполнил её. Он показал на опыте, что «лучам с разной преломляемостью отвечают разные цвета»62, что «цвет белый и чёрный, а также пепельный или более тёмные промежуточные цвета создаются беспорядочным смешением лучей всякого рода. Таким же образом прочие все цвета, не являющиеся первоначальными, производятся различными смесями этих лучей. Отсюда не удивительно, что при разъединении разнородных лучей неравным преломлением мы видим, что снова возникают из них различные цвета. ...Первоначальные цвета при смешении лучей одного с другим могут проявлять смежные цвета; так, зелёный — из жёлтого и синего, жёлтый — из прилежащего зеленого и лимонного и также из других. Под первоначальными цветами я разумею... какие угодно... проявляемые каким-либо однородным видом лучей»63. Ньютон отмечает: «Свет [Солнца] состоит из лучей всех цветов не только при выходе из призмы, когда он ею разлагается на цвета, но даже тогда, когда он ещё не дошёл до призмы, до всякого преломления»63a.