Так, в обычной теории жидкостей, в которой рассматривается лишь движение, которое можно непосредственно обнаружить, мы можем с одинаковым успехом определить её через единицы длины — как число единиц длины, пройденных частицей за единицу времени. Или мы можем определить её через единицы площади как объём жидкости, проходящей через единицу площади за единицу времени. Определённая первым способом, она принадлежит к категории сил; определённая вторым — к категории потоков.
Но если мы попытаемся развить более полную теорию жидкостей, учитывающую наличие диффузии, при которой в одном и том же месте две жидкости обладают различными скоростями, или если мы примем учение о том, что в силу теплоты молекулы жидкости находятся в состоянии движения, то, хотя мы и можем дать определение скорости отдельной молекулы, выражая её через единицу длины, мы не можем этого сделать для самой жидкости; и единственный способ определения движения жидкости — это рассмотрение её как потока и измерение последнего количеством жидкости, протекающей сквозь единицу площади.
Это различие ещё более необходимо, когда мы обращаемся к теплоте и электричеству. Тепловой или электрический поток нельзя себе даже представить иначе, как в виде количества, протекающего в заданное время сквозь заданную площадь. Для того чтобы составить представление о скорости, в смысле, соответствующем каждому из этих агентов, нам нужно было бы представить себе тепло и электричество как непрерывную материю, имеющую известную плотность.
Мы должны поэтому рассматривать эти количества как потоки. Соответствующие им силы: в случае теплоты — степень изменения температуры, в случае электричества — степень изменения потенциала.
Я достаточно сказал для установления различия между силами и потоками. В статическом электричестве результирующая сила в точке есть степень изменения потенциала, а поток — величина, которую до сих пор смешивали с силой и которую я назвал электрическим смещением.
В магнетизме результирующая сила также является степенью изменения потенциала, а поток есть то, что Фарадей называет магнитной индукцией и что измеряется, как это показал Томсон, силой, приходящейся на единичный полюс, помещённый в узкой щели, прорезанной перпендикулярно к направлению намагничения магнита. Я не буду задерживать Общество разъяснением этих величин, но должен коротко установить природу отношения силы и потока в его самой общей форме.
Когда один вектор является функцией другого вектора, отношение первого ко второму является вообще кватернионом, представляющим собой функцию второго вектора.
Когда второй вектор изменяется лишь по величине, а первый всё время ему пропорционален и остаётся постоянным по направлению, мы имеем важный случай линейной функции. Первый вектор тогда называется линейной векторной функцией второго.
Если α, β, γ — декартовы компоненты первого вектора, а a, b, c — компоненты второго, то
α=r
1
a+q
3
b+p
2
c,
β=p
3
a+r
2
b+q
1
c,
γ=q
2
a+p
1
b+r
3
c,
где коэффициенты p, q, r постоянны. Когда все p равны соответствующим q, функция называется самосопряжённой. Она может быть тогда представлена геометрически как соотношение между радиусом-вектором из центра эллипсоида и перпендикуляром на касательную плоскость.
Можно заметить, что даже здесь, где мы, казалось бы, достигли чистых сфер науки, не запятнанных физическими приложениями, один из векторов необходимо есть линия, тогда как другой определяется как нормаль к плоскости, как и во всех других, уже упомянутых парах векторов3*.
Другое различие между физическими векторами основано на ином принципе и разделяет их на векторы, определяемые по отношению к вращению. На замечательные аналогии между этими двумя классами векторов указал Пуансо в своём труде о движении твёрдого тела. Но наиболее замечательная иллюстрация этих аналогий основана на двух различных точках зрения, с которых можно рассматривать связь между электричеством и магнетизмом.