Гельмгольц показал нам в своей знаменитой работе о вихревом движении, как провести аналогию между электромагнитными и гидро-кинетическими явлениями, в которых магнитная сила представлена скоростью жидкости, родом поступательного движения, а электрический ток представлен вращением элементов жидкости. Он не предлагает этого в качестве объяснения электромагнетизма, так как хотя эта аналогия и совершенна по форме, но динамика обеих систем чрезвычайно различна.
Согласно Амперу и его исследованиям, электрические токи рассматриваются, однако, как род поступательного движения, а магнитная сила — как сила, зависящая от вращения. Я вынужден согласиться с этой точкой зрения, так как электрический ток связывается с электролизом и другими явлениями, в которых, несомненно, мы имеем поступательное движение, тогда как магнетизм связан с вращением плоскости поляризации света, которое, как показал Томсон, заключает в себе действительное вращательное движение.
Гамильтоновский оператор ∇, применённый к любой векторной функции, превращает её из поступательного движения во вращение или из вращения в поступательное движение, в зависимости от рода вектора, к которому он применяется.
В заключение я предложу на рассмотрение некоторые математические термины, служащие для обозначения результатов гамильтоновского оператора ∇. Я буду очень признателен тому, кто даст мне какой-нибудь совет по этому вопросу, так как я чувствую, что моя способность к установлению наименований очень слаба и что она может с успехом осуществляться лишь в сотрудничестве с другими.
∇
есть операция
i
∂
∂x
+j
∂
∂y
+k
∂
∂z
где i, j, k — единичные векторы, параллельные соответственно x, y, z. Результатом двукратного повторения на любом объекте этой операции является хорошо известный оператор (Лапласа):
∇²=
∂²
∂x²
+
∂²
∂y²
+
∂²
∂z²
.
Нахождением квадратного корня этой операции мы обязаны Гамильтону; но большинство данных здесь приложений и развитие теории этого оператора дано профессором Тэтом и напечатано в ряде статей, из которых первая помещена в «Proceedings of the Royal Society of Edinburgh» от 28 апреля 1862 г., а наиболее полная «О теоремах Грина и других, связанных с ними» — в «Transactions of the Royal Society of Edinburgh», 1869—1870 г.
Прежде всего я предлагаю назвать результату ∇² (оператор Лапласа) с обратным знаком концентрацией величины, к которой она применена.
Действительно, если Q есть скалярная либо векторная величина, являющаяся функцией положения точки, и если мы возьмём интеграл Q по объёму шара радиуса r, то, разделив его на объём шара, мы получим Q, среднее значение Q внутри шара. Если Q0 есть значение Q в центре шара, то при малом r
Q
0
-
Q
=Cr
2
∇
2
Q,
т.е. значение Q в центре шара превышает среднее значение Q внутри шара на величину, зависящую от радиуса и от ∇²Q. Поэтому раз ∇²Q означает избыток значения Q в центре над его средней величиной внутри шара, то я назову его концентрацией Q.
Если Q — величина скалярная, то и концентрация её — скаляр. Так, если Q — электрический потенциал, то ∇²Q есть плотность вещества, создающего потенциал.
Если Q — векторная величина, то Q0 и Q — векторы и ∇²Q — также вектор, выражающий собой избыток равномерно распределённой силы Q0 приложенной ко всему веществу шара, над результирующей действительной силы Q, действующей на все части шара.
Рассмотрим затем гамильтоновский оператор ∇. Применим его сначала к скалярной функции P. Величина ∇P есть вектор, указывающий направление, в котором P наиболее быстро уменьшается, и измеряющий степень этого уменьшения. Я решаюсь, с большой осторожностью, называть это падением (slope) P. Ламе называет величину выражения ΔP «первым дифференциальным параметром» P, но направлением вектора ΔP он не интересуется. Нам нужен термин, имеющий векторный характер и который, одновременно указывая направление и величину, в то же время не употреблялся бы ещё в другом математическом смысле. Я взял на себя смелость, распространить обычный смысл слова падение (slope), взятого из топографии, где по отношению к трёхмерному пространству употребляются лишь две независимые переменные.