Два обстоятельства побудили меня пойти на такое изменение. Во-первых, это облегчает анализ. Во-вторых, на практике тупые углы можно легко разместить на местности только после построения их острых эквивалентов.
Например, чтобы разметить угол в 125°, легче всего начать с его противоположности — 55° (180°— 125° = 55°).
Ниже приводится порядок повторяемости 231 угла, построенных между 22 различными объектами и кругом Стэннон:
Все остальные углы встречаются менее трех раз. Расчетное среднее арифметическое случайной последовательности для каждого угла можно обозначить как 2,78 случая, следовательно, любое повторение больше трех раз превышает ожидаемое. Угол в 30° повторяется почти в четыре раза чаше чисто случайного. Мало того. Некоторые из углов в 29° могли строиться, чтобы иметь 30°. Например, угол, построенный из Стэннона со сторонами до холма Лауден и Камней Стриппл и составляющий по подсчетам 29°, основан на двух объектах, расположенных менее чем в 1 километре (0,6 мили) друг от друга, а это означает, что один градус меньше допустимой погрешности. Больше того, исследования показали, что визирование подчас проводилось через край кругов, а не через их центры, на которых я построил сетку координат.
Большое число углов в 1° могло строиться с намерением получить 0°или прямую линию. Опять же подобные вариации могут происходить в пределах допустимой по грешности, особенно в тех случаях, когда объекты близко расположены друг к другу, как, например, круги Стриппл и Лиз или круг Стриппл и два круга на холмах Короля Артура.
Разумеется, тот же самый, аргумент может быть использован в прямо противоположном смысле. То, что кажется 30°, на самом деле может быть 29°, а 1° — 2°, а не 0°. Если согласиться с тем, что такие погрешности, возможно, взаимно сократятся, все же остается большой процент значимых углов, построенных на основе этого объекта.
Некоторые углы, повторяющиеся с удивительной частотой на Бодмин-Муре, также появляются в моих обследованиях Бредон-Хилла, а другие оказались новыми. Я составил простую компьютерную программу для построения всех углов от 0° до 90° на основе их простейших отношений. Сразу же становится очевидным, что на самом деле востребованы только 45 отношений. Отношение для получения, скажем, угла в 20° (11:4) эквивалентно тому, которое требуется для угла в 70° (4:11).
Отсюда следует, что 75 процентов всех углов могут быть с легкостью построены с помощью нескольких колышков, промерной рейки, нескольких стоек для визирования и нескольких отрезков бечевы в сочетании со знанием ряда простых отношений.
Построение углов
Приведенный в Приложении 3 список первичных отношении показывает, что в большинстве случаев наибольшее числительное в отношении оказывается меньше 20. Исключение составляют два угла: в 5°, который, как я предположил, строится на отношении 23:2, и в 2°, который можно построить приблизительно из отношения 30:1. Многие углы на деле основаны на отношении 19 (в том числе 19:1, 19:2, 19:3 и 19:11) или на отношении 5 и кратных ему чисел (в том числе 10:9, 10:7, 5:6, 5:8 и 15:8).
Проще всего вписать эти отношения в схему, вычертив круг диаметром в 20 единиц. Вслед за профессором Томом мы можем предположить, что в данном случае в качестве стандартной единицы использовался мегалитический ярд (мя) и что диаметр равнялся 20 мя. Прибегнув к обратному визированию, мы можем отметить точки пересечения диаметра и окружности и провести линию диаметра. На этой линии следует отметить точку 19 мя и построить из нее прямой угол. Это легко сделать с помощью небольших колышков и отрезков бечевки для построения треугольника с отношением сторон 3:4:5.
Отметки на этой новой линии длин в 1 мя, 2 мя и 11 мя дадут углы в 3,6 и 30 градусов, построенные методом обратного визирования. Угол в 30° можно проверить, при необходимости построив равносторонний треугольник, но на практике отношение 10:11 дает угол с точностью до 4,2 дуговых минут, которая достаточна в большинстве случаев. Угол в 6° получается с точностью до 32 дуговых секунд. Точность этого угла на основе его числового отношения, на мой взгляд, играла основополагающую роль в математике, астрономии и топографии античного мира.
Минуты и секунды
Мы делим день на часы, минуты и секунды в соответствии с системой, возникшей еще в Древней Месопотамии. Вавилоняне осознали — в результате астрономических наблюдений — связь времени и пространства. Время прохождения какой-либо звезды по неизменной небесной дуге тщательно измерялось с помощью простых водяных часов. Вот почему сегодня и время, и углы измеря ются «минутами» и «секундами». При делении круга на 60 получаем сегмент в 6°. С помощью отношения 19:2 можно легко разделить круг на 60 равных сегментов. При делении каждого сегмента на два получается точный угол в 3° Разделив же прямую линию, пересекающую сегмент в 3° на три равные части, получим годящиеся для большинства практических целей углы до 1°. Дополнительные подразделения могут дать большие приближения по дуговым минутам и секундам.
Для разметки тех градусов, которые основаны на отношениях пяти или десяти, необходимо лишь отмерить 10 мя на диаметре изначального круга, построить в этой точке прямой угол и затем отметить новую линию. Например, отмерив 7 мя, получим угол в 35°, а отмерив 13 мя -50°(12:10=6:5).
Хотя профессор Том и предположил, что мегалити ческий ярд служил стандартной единицей для круговой съемки, на практике визирование объектов не зависит от каких-либо фиксированных единиц измерения. После местоопределения любого объекта, его отношение к соседнему объекту может быть установлено путем триангуляции при использовании самых разных мер. Я уверен, что есть все основания считать, что мегалитический ярд использовался при сооружении кругов на Марлборо-Даунс, но менее убежден в том, что он служил стандартом и во всех остальных случаях.
Все, что понадобилось бы для построения этих углов, — это одна заданная мера.
Ее можно было получить с помощью двух одинаковых палок длиной в 1–2 метра (3,28–6,56 фута). Первую нужно было положить на землю, а вторую соединить с ней встык. Если затем взять первую и положить с другого конца второй и повторять эти манипуляции, пока не будет отложено нужное число единиц, то можно будет измерить с высокой степенью точности различные расстояния. Для получения максимально точного результата нужно было расчищать из меряемую на земле линию от всяких препятствий и неровностей и проводить ее по ровной поверхности. Не большой колышек, вбитый в землю, мог использоваться как топографическая веха для указания измерений.
После точного построения прямого угла, что очень легко сделать, и точного измерения пропорций, на земле могли быть разбиты углы высокой точности. Затем они могли быть спроецированы на местности с помощью простой техники визирования. Таким образом каменные круги и другие мегалитические центры вроде продолговатых могильных холмов и менгиров могли быть размещены с большой точностью. Как мы уже видели, продолговатые курганы часто помещались на горизонте, что делало их идеальными точками визирования.
Свое обследование Бодмин-Мура я завершил более широким анализом почти 3500 углов между семью главными объектами в северной части и обнаружил схожую картину. Чаще всего повторялся угол в 3° — 64 раза, за тем в 30° — 57 раз. Все остальные часто повторяющиеся углы уже были рассмотрены, за исключением одного — угла в 52°. Он очень близок к углу склона Великой пирамиды Гизы, для которого обычно указывается 51,85°. Угол в 52° найден между кругом Лиз, Раф-Тором и Южным кругом Лескерника. Линия Лиз-Лескерник пересекает Кодда-Тор, который образует «пирамидальный» угол с вершиной Раф-Тора.