Любое произвольное числовое значение может быть записано как число в диапазоне от 1 до 10, умноженное на десять в какой-то степени. Число 100 записывается как 102, в то время как число 135 можно представить в виде произведения 1,35∙100 и в экспоненциальной нотации записать как 1,35∙102. Второй сомножитель в этой записи называется порядком числа, он даёт нам представление о количестве цифр в обычной записи. Таким образом, числа 100 и 135 имеют один и тот же порядок. Первый сомножитель называется мантиссой — он говорит нам о том, где именно находится число в пределах указанного порядка, то есть является оно, например, числом 100 или числом 135.
Для физика порядок числа является наиболее важной характеристикой, поскольку он показывает масштаб явления, и экспоненциальная запись в этом отношении очень удобна, не говоря уже о том, что она просто короче. Гораздо легче воспринять число в форме 1,45962∙1013, чем 1 459 620 000 000 или «один триллион четыреста пятьдесят девять миллиардов шестьсот двадцать миллионов». Я рискну сделать ещё более сильное утверждение: числа, представляющие физический мир, имеют смысл только тогда, когда они записаны в экспоненциальной форме.
Есть и другие несомненные преимущества экспоненциальной записи. В частности, она сильно упрощает манипуляции с числами. Например, вы хотите перемножить два числа, скажем, 100 и 100. Традиционная запись выглядит так: 100×100 = 10 000. В экспоненциальной форме нахождение произведения 100×100 сведётся к следующей манипуляции: 102х102 = 10(2+2) = 104 — фактически, мы заменяем умножение сложением. Аналогично и с операцией деления — вместо 1000:100 = 10 мы пишем: 103:102 = 10(3–2)= 101. Деление заменяется вычитанием. Эти простые правила оперирования со степенями десяти избавляют нас от необходимости постоянно считать количество знаков в перемножаемых числах, и единственное, для чего вам может понадобиться калькулятор, это для перемножения мантисс, то есть левых частей в экспоненциальной записи. Но поскольку мантиссы находятся в диапазоне от 1 до 10, то, помня таблицу умножения 10×10, вы всегда сможете сделать грубую прикидку результата в уме.
В мои задачи не входит научить вас искусству устного счёта, вместо этого я расскажу, как производить численные оценки. Если упрощение картины мира предполагает приближённое её описание, то экспоненциальная форма представления чисел лучше всего подходит для приблизительной оценки каких-то величин с точностью до порядка. Она позволяет быстро получить ответы на вопросы, которые при другом подходе были бы практически неразрешимыми. Грубые оценки помогают убедиться, что мы находимся на правильном пути. Они также позволяют сберечь время и силы, оберегая нас от выполнения ненужной работы. Одна известная байка рассказывает о некоем аспиранте, который потратил массу усилий, чтобы решить сложную систему уравнений, описывающую эволюцию Вселенной, чтобы получить в итоге один важный параметр. И на защите диссертации выяснилось, что этот же параметр получается за пару минут из общих соображений путём простой оценки.
Как сказал Энрико Ферми, «оценка по порядку величины позволяет вам ощутить почву под ногами». Ферми был последним из величайших физиков, который одинаково хорошо владел как теорией, так и техникой эксперимента. Он был одним из участников Манхэттенского проекта по созданию атомной бомбы и в числе прочего занимался проблемой получения управляемой цепной реакции деления атомных ядер. Он также был первым физиком, сумевшим построить теорию, описывающую цепную реакцию деления, за что удостоился Нобелевской премии. Его преждевременная смерть от рака, скорее всего, была вызвана воздействием радиации, изучением которой он занимался в те времена, когда её опасность для человеческого организма ещё не была установлена. Если когда-нибудь вы окажетесь в международном аэропорту имени Логана в Бостоне и по пути в город застрянете в пробке перед въездом в туннель, обратите внимание на мемориальную доску перед выездом на небольшой путепровод. Этот путепровод назван именем Энрико Ферми, и, на мой взгляд, очень показательно, что в то время как города называются именами президентов, а стадионы — именами спортсменов, именем Ферми названа дорога, поскольку в физике он был первопроходцем.