Теперь подытожим общие концепции, проиллюстрированные деревом, представленным на рис. 3.1. Дерево игры состоит из узлов и ветвей. Узлы соединены между собой ветвями и бывают двух типов. Узел первого типа обозначается термином «узел принятия решений». Каждый такой узел соответствует игроку, который выбирает в нем действие. Каждое дерево имеет один узел принятия решений — это начальный узел дерева, отправная точка игры. Узел второго типа называется «концевой узел». Каждому концевому узлу соответствует совокупность исходов игры для ее участников; эти исходы представляют собой выигрыши, полученные каждым игроком, если игра проходила по ветвям, приведшим к данному концевому узлу.
Ветви дерева игры представляют действия, которые можно предпринять из любого узла принятия решений. Каждая ветвь на дереве ведет от узла принятия решений либо к другому узлу принятия решений (как правило, другого игрока), либо к концевому узлу. В дереве должны учитываться все допустимые варианты действий, которые игрок может выбрать в каждом узле, поэтому некоторые деревья включают также ветви, соответствующие варианту «ничего не делать». Из каждого узла принятия решений должна исходить как минимум одна ветвь, но ограничений на количество ветвей нет. При этом к каждому узлу принятия решений может вести только одна ветвь.
Деревья игры часто рисуют на странице слева направо, однако их можно рисовать в любом наиболее подходящем для рассматриваемой игры направлении: снизу вверх, в сторону, сверху вниз или даже радиально, от центра. Дерево — это метафора, в основе которой лежит идея о последовательном ветвлении, поскольку решения принимаются в узлах деревьев.
2. Решение игр с помощью деревьев
Мы проиллюстрируем использование деревьев на примере поиска равновесных исходов игр с последовательными ходами в очень простой ситуации, с которой, по всей вероятности, сталкивались многие из вас, — курить или не курить. Эту и многие другие аналогичные стратегические ситуации с участием одного игрока можно рассматривать как игры, если мы признаем, что впоследствии выбор предстоит делать будущему «я» игрока, которое подвержено влиянию различных факторов и иначе оценивает идеальный исход игры.
Возьмем, к примеру, подростка по имени Кармен, которая решает, следует ли ей курить. Во-первых, она должна определиться, стоит ли ей вообще пробовать курить. Если она все же попробует, в будущем ей предстоит принять еще одно решение: продолжать ли курить. Мы проиллюстрируем этот пример с помощью дерева, представленного на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Принятие решения о курении
Узлы и ветви обозначены доступными Кармен вариантами выбора, но мы должны объяснить выигрыши. Примем исход игры «никогда не курить» за эталон для сравнения и присвоим ему выигрыш 0. Число 0 в этом контексте ничего особо не значит; все, что имеет значение для сравнения исходов, а следовательно, и решения Кармен, — соответствующий выигрыш больше или меньше остальных. Предположим, что для Кармен наиболее предпочтителен исход игры, при котором она попробует какое-то время курить, а потом бросит. Возможно, причина в том, что Кармен не привыкла верить на слово и желает обо всем составить собственное представление, или в том, что это позволит ей со знанием дела заявить: «Я это пробовала и уверяю, что ничего хорошего в этом нет», когда в будущем ей придется наставлять своих детей на путь истинный. Присвоим этому исходу выигрыш +1. Худший исход игры — когда Кармен попробует курить и не сможет остановиться. Даже если не брать во внимание вред, наносимый курением здоровью в долгосрочной перспективе, в краткосрочном периоде появятся не менее насущные проблемы: волосы и одежда Кармен будут неприятно пахнуть, а друзья станут ее избегать. Присвоим этому исходу выигрыш −1. В итоге выбор Кармен кажется очевидным: попробовать курить, но не продолжать это делать.
Однако в этом анализе не учтена проблема зависимости. Как только Кармен попробует какое-то время курить, у нее сформируются другие вкусы и изменятся выигрыши. Решение о том, продолжать ли курить, будет принимать уже не нынешняя Кармен с ее теперешней оценкой исходов игры в том виде, как показано на рис. 3.2, а будущая Кармен, которая иначе оценит дальнейшие альтернативы. Делая выбор сегодня, Кармен нужно проанализировать его последствия и учесть это в своем решении, которое она должна принять исходя из текущих предпочтений. Другими словами, проблема выбора, касающаяся курения, — на самом деле не решение в том смысле, о котором шла речь в главе 2 (выбор, сделанный в нейтральной среде), а игра в формальном смысле, также представленная в главе 2, в которой другой игрок — это будущее «я» Кармен со своими особыми приоритетами. И нынешней Кармен при принятии решения предстоит вести игру с будущей Кармен.