К категории игр с одновременными ходами можно отнести многие из знакомых вам стратегических ситуаций. Различные производители телевизоров, стереосистем или автомобилей принимают решения о дизайне и свойствах продукта, не зная о контраргументах конкурентов. Избиратели на выборах одновременно отдают свои голоса, не зная о предпочтениях других избирателей. В футболе взаимодействие между вратарем и нападающим противника во время пенальти требует одновременного решения обоих: вратарь не может себе позволить ждать удара по мячу, чтобы определить его траекторию, поскольку тогда уже будет слишком поздно.
Очевидно, что при выборе действия участник игры с одновременными ходами не располагает информацией о решениях других игроков. Кроме того, он не может предвидеть их реакцию на его выбор, так как они тоже действуют вслепую по отношению к нему. Поэтому каждый игрок должен анализировать предполагаемые шаги соперников, а те, в свою очередь, проводить аналогичный встречный анализ. Такая цикличность несколько усложняет анализ игр с одновременными ходами по сравнению с анализом игр с последовательными ходами, но выполнить его не так уж трудно. В этой главе мы сформулируем для этих игр простую концепцию равновесия, обладающую значительной пояснительной и прогностической способностью.
1. Описание игр с одновременными ходами и дискретными стратегиями
В главе 2 и главе 3 мы неоднократно подчеркивали, что стратегия — это исчерпывающий план действий. Однако в чистых играх с одновременными ходами у каждого участника есть максимум одна возможность действовать (хотя такое действие может состоять из множества компонентов), поскольку если бы их было несколько, это был бы уже элемент игры с последовательными ходами. Стало быть, в играх с одновременными ходами нет никаких реальных различий между стратегией и действием, поэтому в данном контексте эти термины часто используются как синонимы. Существует только одна сложность. Стратегия может представлять собой вероятностный выбор из первоначально оговоренных базовых действий. Например, в спорте игрок или команда могут умышленно выбирать действия в случайном порядке, чтобы соперник был вынужден угадывать. Такие вероятностные стратегии называются смешанными и рассматриваются в главе 7. Сейчас же мы ограничимся анализом базовых, первоначально оговоренных действий, обозначаемых термином чистые стратегии.
Во многих играх у каждого игрока есть конечное количество дискретных чистых стратегий, например дриблинг, пас и бросок в баскетболе, тогда как в ряде других игр чистая стратегия игрока может представлять собой любое число из непрерывного диапазона значений, скажем цену, назначаемую компанией на свой продукт[41]. Это различие никак не влияет на общую концепцию равновесия в играх с одновременными ходами, но связанные с такими играми идеи легче формулировать с помощью дискретных стратегий; решение игр с непрерывными стратегиями требует несколько более продвинутых инструментов. Поэтому в данной главе мы ограничимся анализом более простых чистых дискретных стратегий, а стратегии с непрерывными переменными рассмотрим в главе 5.
Игры с одновременными ходами и дискретными стратегиями чаще всего описывают с помощью таблицы игры (синонимы: матрица игры или таблица выигрышей), которая называется нормальной или стратегической формой игры. Таблица игры позволяет проиллюстрировать игру с любым количеством участников, однако ее размерность должна соответствовать их числу. В случае игры с двумя участниками таблица имеет два измерения, а заголовки строк и столбцов в ней — это стратегии, находящиеся в распоряжении первого и второго игроков. Следовательно, размер таблицы зависит от количества доступных игрокам стратегий[42]. В ячейках указываются выигрыши, которые получат игроки при подобающей конфигурации стратегий. Игры с тремя участниками требуют трехмерной таблицы; ее мы рассмотрим далее в этой главе.
41
В действительности цена может быть указана в минимальных денежных единицах (например, в целых центах), а значит, может принимать конечное количество дискретных значений. Однако эта единица, как правило, настолько мала, что имеет смысл считать цену непрерывной переменной.
42
Если компании могут выбирать цену, выраженную в любом количестве центов в рамках одного доллара, тогда у каждой компании есть 100 дискретных стратегий, а значит, таблица будет иметь размер 100 на 100. Безусловно, она будет слишком громоздкой с точки зрения анализа. Использование алгебраических формул с непрерывными переменными — более простой, а не более сложный подход, как может показаться некоторым читателям. Подход «Алгебра — наш друг» рассматривается в главе 5.