Концепция таблицы выигрышей для простой игры приведена на рис. 4.1. Представленная на нем игра не имеет специальной интерпретации, поэтому мы можем сформулировать концепции, не отвлекаясь на ее «историю». Имена участников игры — Строка и Столбец. В распоряжении Строки находится четыре варианта выбора (стратегий или действий), обозначенных как «вверху», «высоко», «низко», «внизу», а Столбца — три варианта: «слева», «посредине» и «справа». Каждый выбор Строки и Столбца определяет возможный исход игры. Выигрыши, связанные с каждым исходом игры, показаны в ячейке, соответствующей данной строке и данному столбцу. Принято считать, что из двух чисел, отображающих выигрыши, первое число отвечает выигрышу Строки, а второе — выигрышу Столбца. Например, если Строка выберет вариант «высоко», а Столбец — «справа», выигрыши составят 6 в случае Строки и 4 в случае Столбца. Для дополнительного удобства мы выделяем все, что касается Строки (имя игрока, его стратегии и выигрыши), черным цветом, а Столбца — серым.
Рис. 4.1. Представление игры с одновременными ходами в виде таблицы
Далее рассмотрим второй пример игры с более содержательной историей. На рис. 4.2 представлена упрощенная версия одного розыгрыша в американском футболе. Нападающие пытаются продвинуть мяч вперед, чтобы повысить шансы забить филд-гол. У них есть четыре возможные стратегии: пробежка и три паса разной длины (короткий, средний и длинный). Чтобы сдерживать атаку, защитники могут использовать одну из трех стратегий: защита в случае пробежки и в случае паса и блиц против квотербека. Нападающие пытаются набрать как можно больше ярдов, тогда как защитники — помешать им это сделать. Предположим, у нас достаточно информации об основных сильных сторонах тех и других, для того чтобы оценить вероятность завершения различных розыгрышей и определить среднее количество набранных ярдов, которого можно было бы ожидать при каждой комбинации стратегий. Например, когда команда нападения выбирает стратегию «средний пас», а команда защиты отвечает стратегией «защита в случае паса», по нашим оценкам, выигрыш нападения составляет 4,5 набранных ярда, или +4,5[43]. «Выигрыш» защиты — 4,5 потерянных ярда, или −4,5. В других ячейках также показаны наши оценки количества ярдов, набранных или потерянных каждой командой.
Рис. 4.2. Один розыгрыш в американском футболе
Обратите внимание, что сумма выигрышей в каждой ячейке таблицы равна 0: когда нападающие набирают 5 ярдов, защитники теряют 5 ярдов, и наоборот: когда нападающие теряют 2 ярда, защитники набирают 2 ярда. Такая схема достаточно широко распространена в спорте, где интересы двух сторон прямо противоположны друг другу. Как отмечалось в главе 2, мы называем это игрой с нулевой (или иногда с постоянной) суммой. Вы должны помнить, что, согласно определению, игра с нулевой суммой представляет собой игру, в которой сумма выигрышей во всех ячейках постоянная величина, будь то 0, 6 или 1000. (В разделе 7 описывается игра, в которой сумма выигрышей двух игроков составляет 100.) Основная особенность игры с нулевой суммой состоит в том, что проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.
2. Равновесие Нэша
Для анализа игр с одновременными ходами необходимо рассмотреть, как игроки выбирают действия. Вернемся к игре, представленной на рис. 4.1. Обратите внимание на тот ее исход, при котором Строка выбирает вариант «низко», а Столбец — «посредине», с выигрышами 5 для Строки и 4 для Столбца. Каждый игрок отдает предпочтение действию, которое обеспечит ему более высокий выигрыш, и при данном исходе делает такой выбор с учетом выбора соперника. Если Строка выбирает вариант «низко», может ли Столбец получить более высокий выигрыш, выбрав что-то другое, а не «посредине»? Нет, поскольку вариант «слева» обеспечивает ему выигрыш 2, а вариант «справа» — выигрыш 3 и оба не превышают выигрыш 4 в случае варианта «посредине». Стало быть, стратегия «посредине» — наилучший ответ Столбца на стратегию «низко», реализуемую Строкой. С другой стороны, если Столбец остановится на варианте «посредине», получит ли Строка более высокий выигрыш, предпочтя варианту «низко» какой-нибудь иной? И снова нет, потому что выигрыши от выбора варианта «вверху» (2), «высоко» (3) или «внизу» (4) не будут больше выигрыша Строки в случае выбора варианта «низко» (5). Следовательно, «низко» — наилучший ответ Строки на стратегию «посредине», применяемую Столбцом.
43
Вот как рассчитывались выигрыши в этом примере. Когда команда нападения выбирает стратегию «средний пас», а команда защиты отвечает стратегией «защита в случае паса», по нашим оценкам, вероятность успешного завершения паса и получения 15 ярдов составляет 50 процентов, вероятность незавершенного паса (0 ярдов) — 40 процентов, а вероятность того, что пас будет перехвачен и команда потеряет 30 ярдов, — 10 процентов; в среднем это составляет 0,5 × 15 + 0,4 × 0 + 0,1 × (−30) = 4,5 ярда. Данные в таблице были предложены небольшой группой экспертов из числа соседей и друзей, собранной Дикситом в один осенний воскресный день. Все эксперты получили за свои консультационные услуги гонорар.