b) Определите все доминируемые стратегии в игре или объясните причину их отсутствия.
c) Каковы равновесия Нэша в чистых стратегиях в этой игре?
U11. Брюс, Колин и Дэвид собираются в доме Дэвида в пятницу вечером, чтобы поиграть в «Монополию». Все трое любят есть суши во время игры. По предыдущему опыту они знают, что двух порций суши вполне достаточно, чтобы утолить голод. Если они закажут меньше двух порций, то останутся голодными и не получат удовольствия от вечера, заказывать больше двух порций тоже не имеет смысла, поскольку они столько не съедят и третья порция испортится. Их любимый ресторан Fishes in the Raw упаковывает суши в такие большие контейнеры, что один человек может купить максимум одну порцию. Ресторан Fishes in the Raw предлагает суши навынос, но, к сожалению, не осуществляет доставку.
Предположим, полезность достаточного количества суши составляет для каждого игрока 20 долларов, а недостаточного — 0 долларов. Каждому игроку, который забирает заказ суши, это обходится в 10 долларов.
К сожалению, друзья забыли договориться о том, кто будет покупать суши в эту пятницу, и у них нет мобильных телефонов, поэтому они должны независимо друг от друга решить, покупать суши (П) или нет (Н).
a) Опишите эту игру в стратегической форме.
b) Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях.
c) Какое равновесие вы назвали бы фокальной точкой? Объясните логику своих рассуждений.
U12. Роксанна, Сара и Тед очень любят печенье, но в упаковке осталось только одно. Никто не хочет делить его на части, поэтому Сара предлагает сыграть в следующий вариант игры «чет или нечет» (см. упражнение S12), для того чтобы определить, кто съест печенье. На счет три каждый игрок выбрасывает один или два пальца, затем игроки их суммируют и делят сумму на 3. Если остаток 0, печенье достается Роксанне, если 1, то Саре, а если 2, то Теду. Каждый из игроков получает выигрыш 1, если победит (и съест печенье), и 0 в противном случае.
a) Представьте эту игру с тремя участниками в форме таблицы, где Роксанне соответствуют строки, Саре — столбцы, Теду — страницы.
b) Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях. Можно ли назвать эту игру справедливым способом поделить печенье? Объясните, почему да или нет.
U13 (дополнительное упражнение). Постройте матрицу выигрышей для игры с двумя участниками, удовлетворяющей следующим требованиям. Во-первых, у каждого игрока должно быть три стратегии. Во-вторых, в игре не должны отсутствовать доминирующие стратегии. В-третьих, игра не должна быть разрешима методом минимакса. В-четвертых, в игре должно быть ровно два равновесия Нэша в чистых стратегиях. Составьте матрицу игры, а затем продемонстрируйте, что все перечисленные выше условия соблюдены.
Глава 5. Игры с одновременными ходами: непрерывные стратегии, анализ и обсуждения
* * *
В главе 4 обсуждение фокусировалось на играх с одновременными ходами, в которых каждый игрок мог делать выбор из дискретного множества действий. К дискретным стратегическим играм данного типа относятся спортивные соревнования, позволяющие использовать только небольшое количество вариантов игры в заданной ситуации, скажем пенальти в футболе, когда игрок может выбирать, куда послать мяч: высоко или низко, в угол или в центр ворот. Другие примеры включают в себя координационные игры и игры под общим названием «дилемма заключенных», в которых в распоряжении игроков только две или три стратегии. Такие игры можно проанализировать с помощью таблицы игры, по крайней мере в ситуациях с приемлемым количеством участников и доступных действий.
Однако многие игры с одновременными ходами отличаются от тех, которые мы рассматривали до сих пор, тем, что их участникам приходится выбирать стратегии из широкого диапазона возможных вариантов. Игры, в которых производители выбирают цены на свои продукты, благотворители — суммы пожертвований, а подрядчики — размер заявки на участие в проекте, — все это примеры игр, в которых участники имеют практически бесконечное множество вариантов выбора. Сугубо формально цены и другие суммы в долларах все же можно выразить в минимальных единицах, таких как цент, а значит, на самом деле речь идет о конечном и дискретном множестве стратегий ценообразования. Однако на практике эта единица настолько мала, что, если бы мы допустили подобную дискретность, каждому игроку пришлось бы иметь дело с таким большим количеством дискретных стратегий, что это сделало бы таблицу игры нереально огромной. Поэтому гораздо проще и эффективнее рассматривать эти варианты выбора как непрерывно меняющиеся действительные числа. Когда у игроков столь широкий диапазон доступных действий, таблицы игр становятся фактически бесполезны в качестве инструмента анализа, оказываясь слишком громоздкими для практического применения. Для таких игр нужен иной метод решения. В первой части данной главы мы представим аналитические инструменты для решения игр с непрерывными стратегиями.