На рис. 5.1 приведены графики этих двух правил наилучшего ответа. В силу особенностей нашего примера (линейная зависимость между объемом продаж и назначенными ценами, а также постоянные издержки на приготовление каждого блюда) оба графика наилучших ответов представляют собой прямые линии. При других характеристиках спроса и затрат они могут не быть прямыми линиями, но метод их построения тот же, а именно: сначала зафиксировать цену одного ресторана (скажем, Pу), а затем найти значение цены другого ресторана (например, Pх), которая максимизирует прибыль второго ресторана, и наоборот.
Рис. 5.1. Графики наилучших ответов и равновесия в игре «ценообразование в ресторанах»
Точка пересечения двух графиков наилучшего ответа — это равновесие Нэша в игре в ценообразование между двумя ресторанами. Она представляет пару цен (по одной на каждую компанию), которые являются наилучшими ответами друг на друга. Конкретные значения для равновесной стратегии ценообразования каждого ресторана можно вычислить алгебраически, решив два правила наилучших ответов относительно Px и Py. Мы намеренно выбрали такой пример, чтобы уравнения были линейными и легко решаемыми. В данном случае мы просто подставим формулу для Px в формулу для Py и получим следующее уравнение:
Py = 15 + 0,25Pх = 15 + 0,25(15 + 0,25Py) = 18,75 + 0,0625Py.
Последнее уравнение можно упростить до Py = 20. Ввиду симметричности задачи не составит труда найти, что Px = 20[60]. Таким образом, в равновесном состоянии каждый ресторан назначит цену 20 долларов на блюда в своем меню и получит 12 долларов прибыли на каждых 2400 клиентов (2400 = (44 — 2 × 20 + 20) × 100), которых обслуживает за месяц, что обеспечит общий объем прибыли 28 800 долларов в месяц.
Мы привели пример с ценообразованием в ресторанах, чтобы показать, как найти равновесие Нэша в игре, где стратегии представляют собой непрерывные переменные, такие как цены. Однако эту ситуацию целесообразно проанализировать более детально и объяснить кое-какие экономические аспекты стратегий ценообразования и прибыли при конкуренции между небольшим количеством компаний (в данном случае двух). На языке экономики такую конкуренцию называют «олигополия», от греческих слов, означающих «малое количество продавцов».
Для начала обратите внимание, что график наилучшего ответа каждой компании наклонен вверх. В частности, если один ресторан поднимает цену на 1 доллар, наилучший ответ другого ресторана — поднять цену на 0,25 доллара, или 25 центов. Когда один ресторан повышает цену, некоторые его клиенты переходят в другой ресторан, а это означает, что его конкурент может получить прибыль за счет новых клиентов посредством частичного повышения цены. Таким образом, ресторан, поднимающий цену, помогает конкуренту увеличить прибыль. В случае равновесия Нэша, при котором каждый ресторан назначает цену независимо от другого и исходя исключительно из собственной прибыли, он не учитывает дополнительное преимущество, которое создает для другого ресторана. Могут ли они объединить усилия и договориться о повышении цен, тем самым увеличив свою прибыль? Да. Предположим, два ресторана установили цены по 24 доллара каждый; стало быть, каждый из них получит 16 долларов прибыли на каждого из 2000 клиентов (2000 = (44 — 2 × 24 + 24) × 100), которых ресторан обслуживает за месяц, следовательно, общий объем прибыли составит 32 000 долларов в месяц.
Эта игра в ценообразование в точности такая же, как и дилемма заключенных, рассмотренная в главе 4, но теперь стратегии носят непрерывный характер. В истории из главы 4 у мужа и жены было искушение предать друг друга и признаться в совершении преступления в полиции, однако, сделав это, оба бы получили более длинные тюремные сроки (худшие исходы игры). Аналогично более прибыльная цена 24 доллара не является равновесием Нэша. Каждый из ресторанов, произведя расчеты, попытается предложить клиентам более низкую цену. Предположим, Yvonne’s начнет с цены 24 доллара. Воспользовавшись формулой наилучших ответов, можно определить, что Xavier’s при этом установит цену 15 + 0,25 × 24 = 21. Далее Yvonne’s отреагирует своим наилучшим ответом: 15 + 0,25 × 21 = 20,25. В случае продолжения этого процесса цены обоих ресторанов сведутся к равновесию Нэша, то есть к 20 долларам.
60
Без такой симметрии два уравнения наилучшего ответа были бы иными, но, учитывая другие характеристики, по-прежнему линейными. Так что решить асимметричную задачу было бы не намного труднее. У вас будет возможность это сделать в упражнении S2 в конце данной главы.