Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

В рамках квазистационарного приближения введем еще уравнение динамики испарения защитного покрытия

dt p_w'

гдepw — плотность материала покрытия.

5.3. Приближенный расчет параметров течения воздуха в окрестности поверхности ротора

Уравнение (5,2), описывающее распределение скорости воздуха в окрестности поверхности ротора, можно рассмотреть независимо от

(5,3).

Применяя к (5.2) преобразование Лапласа, получим дифференциальное уравнение Бесселя относительно изображения v (s, г) искомой функции v {U г). Решение этого уравнения при граничных условиях (5.4), (5.6) после их перевода в область изображений имеет вид

_ч V

/ \^1/2

где К₀ (|) — функция Макдональда; /3 = j .

Воспользуемся известной оценкой поведения функции Макдональда, согласно которой при больших значениях аргумента £ >> 1 она убывает по показательному закону [30], В этом случае решение

(5.9) в первом приближении можно представить в виде

1/2

(5.10)

v (5, г)

Применяя к (5.10) обратное преобразование Лапласа, получим

v(t>r)=V&-

1/2

erfc

Яр) /р'

2 [/и

1/2'

(5.11)

где

erfc (£) = 1

-г-/ ехр (-^%ж о

— дополнительная функция ошибок Гаусса [30].

Из полученного решения следует, что воздух захватывается ротором и приводится в движение во всем окружающем пространстве вплоть до бесконечности. При этом скорость воздуха быстро падает по мере удаления от центральной линии ротора, поэтому для конкретных расчетов допустимо ограничиваться конечной областью радиуса г_0оо. Полагаем, что г_0оо — такой радиус захвата, на котором скорость воз-

Таблица 5ЛИзменение во времени радиуса области течения воздуха
V (/, Г со ),	Гос М
м/с	t = 0,1 с	* = 1 с	/ = Юс
340,3	0,089	0,175	0,444
2,36	0,119	0,267	0,736

духа v (t, г_0оо) составляет наперед заданную часть осевой составляющей скорости ротора V_z. При таком подходе радиус области преимущественного течения воздуха представляет собой решение уравнения

^€\

^rQoo

\

\/2

erfc

^rQoo ( р \ ^1/2

; ² И J'

в котором радиус г₀ ^ изменяется с течением времени и характеризует условную границу нестационарного пограничного слоя, формируемого на внешней поверхности ротора.

В качестве верхней оценки для используем значение

/ А ^1/2

г_м (0 = R_p + 2е₂ ,

где е₂ — аргумент функции ошибок Гаусса, при котором она принимает значение

При этом учитываем, что для любого момента времени при прочих равных параметрах

(0 < (0 .

Представление о радиусе области течения воздуха г^ио его изменении со временем можно получить из табл. 5.1, в которой заданы два значения скорости звука v (7, /*«,): 340,3 м/с (е_{= 0,034, е₂ = 1,49) и практически нулевой по аэрокосмическим масштабам скорости 2,36 м/с = 0,000236, с₂ = 2,6). Расчеты проводились при R_p = 0,05 м и

параметрах воздуха р = 13,9 • 10”⁹ Па-с ир = 0,08 кг/м³, соответствующих температуре 4273 °К.

Рис. 5.2. Зависимость удельной силы трения поверхности ротора о воздухот времени

Положим R_p « г, тогда соотношение (5.11) можно представить в

виде

v (t, г) = V erfc

2 Ш

(5.12)

Силы трения поверхности ротора о воздух в расчете на 1 м его длины, удобно вычислить по формуле

dv.

~dr\r=R _в

F_rp = -2nR_pfi

Подставляя сюда (5.12), получим

F = 2 R

* тр

Ыцр\

I * )

1/2

В качестве примера на рис. 5.2 представлена зависимость F_Tp от времени, построенная при R_p ~ 0,05 мдляц ~ 1,819 * 10~⁵ Па-с,/> = 1,166 кг/м³, соответствующих температуре воздуха 293 °К. Как показали вычисления, выбор другого, большего значения температуры воздуха приводит к снижению расчетного значения F_Tp, поэтому зависимость на рис. (5.2) представляет собой верхнюю оценку F_Tp.

5.4. Приближенный расчет температурного поля в окрестности поверхности ротора при отсутствии процесса сублимации защитного покрытия

Температурное поле в окрестности поверхности ротора при отсутствии процесса сублимации можно определить, используя уравнение