(5.3). С учетом (5.12) это уравнение после некоторых преобразований запишем в следующем виде:
Ср
дТ
dt
г дг
X г
дТ
дг
Jit
■ exp
г _ лА
1 2р t J-
(5.13)
Введем безразмерные переменные
(5.14)
где tt, — характерные значения температуры воздуха и времени. Используя обозначения (5.14), преобразуем уравнение (5.13) к
виду
| ЭГ Ai д dt' дг' | ' , дт\ м | 1—- -11^ Г |
| ;-aFj+Texp | ||
| 2 рА-,- ,. | V2 | |
| pR2’ 3 nC | ||
(5.15)
(5.16)
— безразмерные параметры.
Граничные условия (5.5), (5.8) и начальное условие (5.7) в безразмерной форме имеют вид
| Таблица 5.2Влияние температуры воздуха на температуру поверхности ротора | |||
|---|---|---|---|
| 7о, °К | Температура 7V ПО поверхности ротора в момент времени | ||
| t- 0,0006 с | t- 0,003 с | t-0,06 с | |
| 293 | зпо | 2120 | 2010 |
| 873 | 3110 | 2050 | 1940 |
| 2273 | 3000 | 1970 | 1870 |
| Г' = 1. = Л4 + As) | |||
r' = rw= 1 + e2(2A2t’)W 0;
Г = 0, Т = 0,
(5.19)
где
еа(П ~ Гм)3Лр
(5.20)
, As -
Сравнивая граничное условие (5.18) с (5.6), замечаем, что в качестве бесконечно удаленной точки г' со принимается точка на условной границе области течения воздуха г' -» г*,. При этом предполагается, что за пределами этой области температура воздуха равна Тм.
Уравнение (5.15) с граничными и начальными условиями (5.17) — (5.19) решалось численным методом при значениях параметров: V« 104 м/с; = 300 °К; г = 0,5; i?p = 0,05 м; е2 * 2,6. Гидродинамические и теплофизические параметры воздуха р, /г, А, С принимались постоянными и соответствующими некоторой средней температуре Тф, Результаты исследования влияния выбора температуры на температуру Tw поверхности ротора в различные моменты времени сведены в табл. 5.2.
Из представленных в этой таблице значений Тw, вычисленных для одного момента времени, но различных значений температуры Т0, следует, что упрощающее допущение 8 в (5.2) для оценочных расчетов вполне допустимо. Температура Tw при увеличении Г0 от 293 °К до 2273 °К уменьшается не более, чем на 10—15%, поэтому вычислен-
 |
| Рис. 5.3. Зависимость температуры поверхности ротора от времени |
 |
| Рис. 5.4. Зависимость удельной мощности излучения ротора от времени |
 |
| Рис. 5.5. Зависимость плотности потока излучения на поверхности ротораот времени |
ыая температура поверхности ротора при гидродинамических и теплофизических параметрах воздуха р> /&, А, С, соответствующих значению Т0 = 293 °К, дает верхнюю оценку для Tw. В дальнейшем расчеты выполнены для температуры Т0 - 293 °К.
При обсуждении варианта ротора ОТС без защитной вакуумной оболочки представляет интерес зависимость температуры Tw поверхности ротора от времени, представленная на рис. 5.3. В рамках рассматриваемой математической модели наиболее высокие температуры ожидаются в момент старта (/ ~ 0). Из уравнения теплопереноса следует, что внезапное импульсное соприкосновение быстро движущейся поверхности с воздухом приводит в начальный момент к бесконечно большой температуре поверхности. Реально же в момент старта верхняя оценка температуры воздуха на поверхности ротора соответствует температуре полного торможения. В дальнейшем температура быстро падает и уже через 0,05 составляет около 2000 °К.
Разогрев до такой температуры вызовет интенсивное тепловое излучение с поверхности ротора. На рис. 5.4 для рассматриваемого примера показана зависимость мощности Жизл излучения в расчете на 1 м
длины ротора, а на рис. 5.5 —
зависимость плотности дтл потока излу-
 |
| 0.055 0.060 Г/RpРис. 5.6. Зависимость скорости воздуха и его температуры от радиальной координаты в момент времени t~ 0,481 с |
чения на поверхности ротора от времени. Wmn и дтл с учетом результатов решения уравнения (5.15) вычислялись по формулам
^изл ~ 8 ° {Л — И/изл = 2л #изл.
Здесь также наблюдается резкое снижение этих величин с течением времени.
Характер радиального распределения скорости воздуха и его температуры в окрестности ротора в фиксированный момент времени t - 0,48 с представлен на рис. 5.6. Температурная кривая имеет ярко