Измерение вертикальной составляющей потока прямого "креста". Для вертикально поляризованного потока на входе гейта имеем входное двухкубитное состояние:
Этот вектор в матричном виде, в виде столбца коэффициентов запишем в следующем виде:
Следовательно, после прохождения через гейт CNOT волновая функция в матричном виде будет преобразована следующим образом:
В дираковской форме эта волновая функция может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций, то есть, пара не является запутанной:
Эти два фотона (из потока и управляемый фотон на выходе) поступают на два наклонённых под 45 градусов расщепляющих поляризатора, каждый из фотонов – через свой поляризатор. Поскольку фотоны независимые, то через эти одинаково ориентированные поляризаторы на одноименные выходы пройдёт по 50% фотонов с управляющего и управляемого выходов гейта
CNOT
. Вероятность парного прохождения, то есть, когда на одноименные выходы разных поляризаторов пройдут оба фотона пары, согласно закону Малуса будет равна:
Это очевидно, поскольку в базисе поляризаторов фотоны описываются одинаковыми волновыми функциями
Таким образом, поскольку фотоны не запутанные, совпадений при прохождении через поляризаторы будет 50% (25% – оба прошли на плюс, 25% – оба прошли на минус).
Измерение горизонтальной составляющей потока прямого "креста". Для горизонтально поляризованного фотона на управляющем входе гейта CNOT и горизонтально поляризованного фотона на управляемом входе имеем волновую функцию:
Или в матричном виде:
На выходе CNOT получаем функцию в матричном виде:
В дираковской форме эта волновая функция также может быть представлена в виде тензорного произведения двух независимых волновых функций, то есть, пара так же не является запутанной:
Поскольку фотоны на управляющем и управляемом выходах гейта CNOT независимые, то при их прохождении через наклонённые на 45 градусов поляризаторы также будет по 25% совпадений. Волновые функции фотонов будут иметь вид
Вероятность парного прохождения, то есть, когда через одноименные выходы поляризаторов пройдут оба фотона, как и в предыдущем случае, будет равна:
То есть, и в этом случае совпадений при прохождении через поляризаторы будет 50% (25% – оба прошли на плюсовые выходы, 25% – оба прошли на минусовые выходы). Но каждый из полу-потоков составляет 50% от общего количества фотонов в потоке, поэтому в их полном количестве парные совпадения также будут равны, соответственно, P00 и P11. То есть, хотя в каждом полу-потоке вероятность парного прохождения равна 50%, в полном потоке это количество составит только 25%. Следовательно, общее совместное одноименное прохождение, таким образом, составит
Такое 50-процентное совпадение обозначим как сигнал "ноль", "нет", false, точка азбуки Морзе и так далее.
Передача сигнала единицы
В случае поворота поляризатора передатчика на вход приемника поступят два ортогонально поляризованных потока фотонов с наклоненной на 45 градусов вертикальной и горизонтальной поляризацией (наклонный "крест"). Попробуем использовать его для передачи сигнала "единица", "да", true, тире азбуки Морзе и так далее. Смесь в этом случае будет содержать два потока фотонов с волновыми функциями:
Измерение составляющей Ψ+ потока наклонного "креста". Для этой составляющей на управляющем входе гейта CNOT и горизонтально поляризованного фотона на его управляемом входе имеем волновую функцию и её матричную форму:
После их прохождения через гейт получим состояние в матричном виде:
В дираковской форме волновая функция теперь уже не может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций, что означает запутанное состояние фотонов (чистое состояние Белла ϕ+, состояние шрёдингеровского кота):