Дебют Эсамбаева на профессиональной сцене состоялся в 1939 году. Тогда в молодой Чечено-Ингушской АССР организовали Государственный ансамбль песни и танца и Эсамбаев танцевал на его сцене танец «Полянка». Но тогда его выступление не произвело впечатления, поскольку танец Эсамбаева отличался пластичностью, даже женской мягкостью, а у чеченцев в чести были другие танцы – мужественные, темпераментные. Однако, даже несмотря на критические замечания, Эсамбаев не изменил своему амплуа и продолжал танцевать так, как ему нравилось. Он стал первым из чеченцев, кто стал исполнять танцы других народов. Кроме этого, он принимал участие в спектаклях драматического театра: в «Храбром Кикиле» играл роль царского писаря, а в драме «Сурхо – сын Ади» – адъютанта князя Мусоста.
Только после этих успехов отец Эсамбаева наконец смирился с тем, что его сын станет танцором. Хотя этот факт дался отцу с трудом. Когда Эсамбаев принес домой свою первую получку, выданную ему в ансамбле – 300 рублей 40 копеек, – отец долго не мог поверить, что за танцы могут столько платить. И в итоге отправился к руководству ансамбля, чтобы лично удостовериться в этом. Когда ему показали официальный документ, где черным по белому была написана зарплата его сына, отец Махмуда только развел руками. А потом сказал такое, чего никто не ожидал услышать. «Поэтому страна и живет плохо – козлы, которые под музыку скачут, деньги гребут, а работяги вроде меня получают копейки», – сказал отец.
Когда началась война, Эсамбаев стал выступать с фронтовыми концертными бригадами. Во время выступления в госпитале в Минеральных Водах на Эсамбаева обратил внимание директор тамошнего Театра оперетты и пригласил талантливого актера в свою труппу. Причем не просто актером, а премьером. И хотя первая же репетиция закончилась провалом – коллеги даже назвали Эсамбаева неотесанным, – потом молодой танцор сумел реабилитироваться и с честью станцевал в премьерном спектакле «Роз-Мари» танец «Черное с белым». Затем были танцы «Бродвей» в оперетте «Сорванец», цыганский танец в «Холопке», русский – в оперетте «Раскинулось море широко».
В 1944 году по приказу Сталина всех чеченцев в считаные дни отправили в ссылку в Казахстан. Однако Эсамбаева та кара не коснулась, поскольку он в то время находился в Пятигорске. Но он, едва услышав об этом переселении, сам явился в отделение милиции и попросил отправить его вслед за родней. Четырнадцать суток ему пришлось ехать в теплушке, был даже момент, когда он подумал, что никогда не доберется живым до места назначения. А когда добрался, едва не погиб от холода, поскольку к родителям его не пустили и ему пришлось искать себе другое жилье. Эсамбаева тогда приютила украинская семья, благодаря которой он и выжил.
В течение нескольких месяцев Эсамбаев работал в Алма-Атинском оперном театре имени Абая, после чего в ноябре 1944 года перешел в другой коллектив – в Киргизский театр оперы и балета во Фрунзе. Прошло совсем немного времени, и звезда Эсамбаева в этом коллективе засияла в полную мощь: он исполнял испанский танец из балета «Лебединое озеро», венгерский из «Раймонды», танец «Краковяк». Тогда же Эсамбаев и женился: его женой стала 18-летняя красавица Нина Ханумянц. В этом браке у них родилась дочь Стелла.
В 50-е годы Эсамбаев продолжал работать в театре оперы и балета. Танцевал в таких спектаклях, как: «Бахчисарайский фонтан», «Тарас Бульба», «Весна идет!», «Красный мак», «Под небом Италии». Это все были мужские роли, однако в 1955 году Эсамбаев сыграл и роль диаметрально противоположную – злую фею Карабос в балете «Спящая красавица». Сыграл так вдохновенно, что в шутку в театре стали говорить: надо балет переименовать в «Карабос».
В театре оперы и балета Эсамбаев проработал 12 лет, после чего в июне 1956 года решил уйти на эстраду: перешел в Киргизскую филармонию. Однако первые же гастроли Эсамбаева по Уралу стали и его последними выступлениями в этой филармонии. После одного из концертов за кулисы пришел представительный мужчина, который предложил Эсамбаеву перейти в Москонцерт. Отказаться от такого заманчивого предложения было равносильно самоубийству. Хотя первое время Эсамбаеву пришлось в столице несладко.
Когда Эсамбаев приехал в Москву, на вокзале его никто не встретил. В итоге артисту пришлось первую ночь коротать на скамеечке на Курском вокзале. А потом он случайно встретил на улице своего давнего знакомого Льва Крамаревского, и тот, узнав, что Эсамбаеву негде ночевать, взял его к себе на постой. На этом полоса везения Эсамбаева не закончилась. Вскоре он познакомился с известным балетмейстером Элеонорой Грикуровой и попросил ее помочь ему поставить индийский танец. «Хочу выступать с ним на эстраде», – сказал Эсамбаев. Но Грикурова посмотрела на эту идею скептически: «В ваши 32 года вам уже поздно танцевать индийские танцы». Эта фраза задела Эсамбаева, и он решил доказать, что балетмейстер не права. И на глазах у изумленной Грикуровой стал выделывать такие «коленца», что балетмейстер была поражена. И согласилась его обучать. Так на свет явился их совместный танец в стиле Бхарат-Натья «Золотой бог». Успех его был настолько ошеломительный, что в народе пошли слухи, будто танцор – чистокровный индиец по имени Али Мухаммед Султан. Когда эти слухи дошли до самого Эсамбаева, он немедленно внес в это дело ясность: вышел на одном из концертов на сцену и объявил, что он не индиец, а чеченец. Однако на его популярности это нисколько не отразилось: билеты на его выступления в кассах невозможно было достать. Однажды даже знаменитый балетмейстер Игорь Моисеев пришел на его концерт и выразил восхищение работой Эсамбаева на сцене. С этим танцем Эсамбаев покорил и зрителей Международного конкурса по народному и характерному танцу, который проводился в рамках VI Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Москве летом 1957 года. Стоит отметить, что в этом конкурсе участвовали 3109 человек из 47 стран мира и 945 из них были награждены медалями. Две из этих медалей достались Эсамбаеву.