Сергей Шевкуненко родился в семье творческих работников: его отец – Юрий Александрович – был известным драматургом, пьесы которого шли во многих театрах страны, мама – Полина Васильевна – в молодые годы была актрисой. В 1938 году она поступила в ГИТИС, однако из-за начавшейся вскоре войны не смогла его закончить (ушла после третьего курса). Она устроилась работать актрисой в Театр Красной армии, где судьба и свела ее с Шевкуненко, который в то время проходил службу в армии в качестве актера ЦТКА (он перед этим закончил Воронежское театральное училище). В 1942 году молодые поженились, а спустя три года – 17 июля 1945 года – на свет появился первый ребенок – дочь Ольга.
Осенью 1952 года семья Шевкуненко вернулась на родину из Германии (супруги играли в драмтеатре при Группе советских оккупационных войск) и устроилась в труппу Московского драмтеатра (Спартаковская улица, 26). Однако если Полину актерская стезя вполне устраивала, то Юрий в ней разочаровался и с головой ушел в литературу. Он стал выступать во многих печатных изданиях с рецензиями, посвященными театру и кино. В 1955 году поступил на заочное отделение Литературного института имени Горького. А в октябре следующего года его пригласили в качестве старшего редактора с окладом в 1410 рублей на главную киностудию страны «Мосфильм». Протеже Шевкуненко в этом случае выступил режиссер Московского драмтеатра Валентин Невзоров, с которым Юрий подружился, работая в труппе актером. В середине 50-х Невзоров ушел из театра в кинематограф и в 56-м решил пополнить отечественную кинолениниану собственным фильмом на эту тему – «Семья Ульяновых». И в качестве помощника в написании сценария (он базировался на пьесе Ф. Попова «Семья») взял Шевкуненко. А когда работа была завершена, рекомендовал Юрия руководству «Мосфильма» на должность старшего редактора.
На новом месте Шевкуненко достаточно быстро освоился, обзавелся полезными знакомствами и приложил руку к созданию многих известных кинофильмов. Среди них: «Поединок» (1957) и «Накануне» (1959) Владимира Петрова, «Ветер» (1958) Александра Алова и Владимира Наумова, «Капитанская дочка» (1959) Владимира Каплуновского, «Неотправленное письмо» (1961) Михаила Калатозова и др. Кроме этого, Шевкуненко продолжал выступать в печати с критическими статьями, а также писал пьесы для театров. Вся эта деятельность приносила ему неплохой заработок, который позволял молодой семье с оптимизмом смотреть в свое будущее. Каких-нибудь несколько лет назад они ютились в скромной комнатке в Новоконюшенном переулке, но, после того как Юрий перешел работать на «Мосфильм», семья получила ордер на куда более просторную квартиру в новом доме напротив киностудии – улица Пудовкина, дом 3, куда они переехали впятером (с ними еще жила 65-летняя мама Юрия Александровича, Елена Васильевна). Все эти обстоятельства позволили Полине Шевкуненко уйти из театра и целиком посвятить себя домашнему хозяйству. А спустя какое-то время супругам пришла мысль завести второго ребенка. И хотя в августе 1959 года Полине Васильевне исполнилось 40 лет, будущих родителей это не испугало. В итоге 20 ноября того же года на свет появился мальчик, которого назвали Сергеем.
Радость родителей новорожденного была безмерной. Например, отец мальчика, вдохновленный этим событием, написал пьесу «Сережка с Малой Бронной», которая стала поводом для появления песни с аналогичным названием, ставшей шлягером в исполнении Марка Бернеса.
Между тем служебная карьера главы семейства продолжала идти ввысь. В январе 1960 года Шевкуненко занял кресло главного редактора 2-го творческого объединения «Мосфильма» с окладом в 2000 рублей. Прошло всего-то ничего – восемь месяцев – и Шевкуненко получил новое повышение – стал директором этого объединения. И его оклад вырос еще на тысячу рублей. Следом за главой семьи сюда же потянулись и его родственники. Сначала на киностудию пришла Ольга. Летом 1962 года она закончила среднюю школу № 74 Ленинского района Москвы и в июле того же года была принята на «Мосфильм» в качестве ученицы монтажницы 1-го разряда. Девушка быстро завоевала в новом коллективе авторитет: вошла в редколлегию стенной газеты, была принята в ряды ВЛКСМ. В 1963 году ее включили в агитационную бригаду на очередных выборах в местные Советы.