Учителям, батькам і друзям варто розуміти, що той, хто вчиться, вписує нову інформацію у власні, відмінні від їхніх концептуальні рамки. Враховуючи цей фактор, педагогіка стає ефективнішою. Ідеться не про спрощені тлумачення, а радше про «переклад» своїх знань іншою мовою, для іншого способу мислення. Парадоксально, але часом пояснення однокласника, який сприймає світ через аналогічні концептуальні рамки, дає кращі результати. Іноді найкращі перекладачі — самі учні.
▶ Разом із математиками Фернандо Чорні, Пабло Коллом і Лаурою Пессатті ми провели дуже простий експеримент, результати якого вагомі для освітньої практики. Об’єднавши у дві групи кількасот студентів, які пройшли вступний курс і готувалися до іспиту, ми запропонували їм математичну задачу. Перша група мала просто її розв’язати. Другу ми попросили спершу записати умову своїми словами й аж тоді братися за задачу.
Друга група мала додаткове завдання, яке відволікало учасників, вимагало часу й концентрації. Але з точки зору описаної вище теорії вони реалізували ключовий елемент навчання — переказали формулювання своїми словами, перед тим як розв’язувати задачу{Це була звичайна задача з підручника. Спробуйте переписати її й побачите, наскільки легше знайти відповідь. «Поверхи будівлі пронумеровані від 0 до 25. У ліфті є тільки дві кнопки: жовта й зелена. Якщо натиснути жовту, кабіна підніметься на 9 поверхів, якщо зелену — опуститься на 7. Якщо натиснути на жовту кнопку, коли “бракує” поверхів для підйому, ліфт нікуди не поїде; те саме станеться, якщо натиснути на зелену кнопку, коли він занизько. Запишіть послідовність натискань для того, щоб людина піднялася ліфтом із нульового на одинадцятий поверх». А ось мій «переклад», записаний мало що не кодом. Завдяки цьому я розв’язав задачу набагато швидше, не перевантажуючи свій буфер пам’яті:
«Ліфт: 9 угору або 7 униз.
Будівля: 25 поверхів.
Не можна оминути нульовий поверх чи дах.
Як потрапити з 0 на 11?»}. Результати просто приголомшують: у другій групі, де учасники переписали умову, успішність була майже вдвічі вищою, ніж у першій, яка одразу взялася за розв’язання.
А тепер спробуймо поглянути на світ геометрії дитячими очима й переконатися, що процес переформулювання понять своїми словами — це набагато більше, ніж лінгвістична вправа. Щоб зрозуміти, що геометрія не дуже ладнає зі словами, достатньо буде прочитати визначення паралельності: «Рівновіддалені лінії або площини, які ніколи не перетинаються». У ньому повно абстрактних термінів: лінія, площина, рівновіддалений (у деяких дефініціях додається поняття нескінченності). Навіть слово паралельний вимовити складно. Та хто взагалі його придумав? Проте коли ми бачимо дві непаралельні лінії серед кількох паралельних, то одразу їх помічаємо. Отже, зорова система стимулює внутрішнє чуття, яке дозволяє розпізнавати геометричні поняття ще до того, як ми вивчимо їхні назви.
Трирічна дитина вже розрізняє дві непаралельні лінії серед кількох паралельних. Звісно, вона не здатна пояснити поняття, тим більше назвати термін, але чітко розуміє, що ці прямі чимось вирізняються. Те саме стосується багатьох геометричних понять: прямий кут, замкнена й незамкнена фігури, кількість сторін багатокутника, симетрія тощо.
Існує два шляхи вивчення універсалій, не закладених освітою. Перший — спостерігати за дітьми, які ще мало зіпсовані культурою, другий — стати таким собі антропологом думки й помандрувати туди, де традиції сильно відрізняються.
Приклад ґрунтовно вивченої культури для дослідження математичного мислення — плем’я мундуруку, яке живе в нетрях бразильської Амазонії. Культура мундуруку дуже багата й давня, а математичні уявлення в ній суттєво відрізняються від тих, які ми успадкували від греків та арабів. Наприклад, у цього племені немає слів для більшості чисел. Мундуруку мають слова — для називання одиниці (пуґ ма), двійки (ксепксеп), трійки (ебадіпдіп) — і все. Також існують лексеми на позначення приблизної кількості, наприклад пуґ поґбі (жменя), адесу (кілька) і адема (досить багато). Інакше кажучи, їхня математика приблизна, а не точна. Мова племені дозволяє розрізнити багато й мало, але сказати нею, що дев’ять мінус два дорівнює сім, неможливо. «Сім», «тридцять», «п’ятнадцять» у мові мундуруку просто не існують.