Единицы
Десятки
Китайские «бамбуковые· цифры. Система счисления с основанием 10.
По большей части ранние цивилизации не воспринимали числа как абстрактные концепции. Они называли их словами, относящимися к исчисляемому объекту, и обозначали их полумагическими символами. Осознание различий между словами, обозначающими числа, и отдельными группами чисел представляло собой длительный процесс. Так, определенные «показательные» количества (пять пальцев на одной руке, десять — на двух руках) сыграли фундаментальную роль в том, как складывались арифметические операции или выбиралось основание для системы счисления. Эти народы знали четыре элементарных арифметических действия, которые они применяли весьма приблизительным образом, используя при этом только малые числа. Кроме того, они знали и дроби, чаще всего ограничиваясь 1/2, 1/3 или чуть больше, каждая из дробей обозначалась определенным словом. С большой вероятностью знали они и базовые геометрические понятия: прямая, круг, угол... Математические знания древности простирались настолько, насколько они удовлетворяли практической необходимости: простейшие расчеты при торговле, приблизительное вычисление площади полей, декоративные рисунки на керамике или ткани, а также измерение времени. В конечной стадии развития древнейших обществ отмечается «математический прогресс», который требует достаточно развитой способности к абстракции: появились такие понятия, как соотношение между абстрактными числами и конкретными вещами, дополнительная последовательность чисел и базовое число для системы счисления. Как бы то ни было, толчком для развития математики, как и для науки в целом, послужило появление городов. Около 10000 года до н.э. произошло решительное изменение в отношении людей к природе и друг к другу. Примитивные культуры мало-помалу оставляли традиционные занятия охотой и собирательством и принимались за сельское хозяйство, одомашнивали различных животных, начинали выращивать скот. В результате последовавшего разделения труда человеческое общество расслоилось на классы на основе сельскохозяйственного производства, появились частная собственность и государство. Новые, усложнившиеся потребности привели к развитию математических и астрономических знаний.
Во многих цивилизациях математика занимала важное место среди наук, делавших свои первые шаги, хотя наряду с такими цивилизациями продолжали существовать и культуры, не знавшие подобного прогресса. Конкретная форма и уровень знаний, связанных с сельским хозяйством, которыми обладали математики той эпохи, зависят от концепции мира, господствовавшей у того или иного народа. В целом знания аграрных обществ отвечали их нуждам, но не более того, их математика ограничивалась элементарными операциями с постоянными величинами.
Месопотамия была первой древней цивилизацией, где математика получила серьезное развитие, пошедшее, благодаря шумерам, значительно дальше, чем это было в Египте. Первые математические тексты, дошедшие до нас, изображены на глиняных клинописных табличках и восходят к шумерской цивилизации города Урук. В них можно встретить математические результаты, присутствующие также в табличках древней Вавилонской империи, в том числе относящиеся к ее культурному расцвету, времени царя Хаммурапи, о котором здесь уже упоминалось. Около середины VI века до н.э. ахеменидская Персия под началом Кира Великого захватила власть на Ближнем Востоке. Некоторые халдейские математики той эпохи, такие как Набу-Риманни и Кидинну, стали известны грекам.
Прилагательное «месопотамский» относится ко всем народам, обитавшим в обширном регионе «плодородного полумесяца», лежащем между реками Тигром и Евфратом и доходившем до Ливанских гор. Термин «Месопотамия» не относится к какому-нибудь конкретному городу, стране или культуре, а обозначает «страну между двух рек», Междуречье. Народы, жившие в этой области, построили такие города, как Вавилон, Ур, Урук, Лагаш... К счастью, несмотря на частую смену власти, развитие математики в Месопотамии шло непрерывно.
Междуречье находилось на перекрестке наиболее важных торговых путей, так что экономика оказывала огромное влияние на развитие древней арифметики. Месопотамские культуры использовали элементарные арифметические и алгебраические знания для измерения длин и весов, обмена деньгами и товарами, расчета прибылей, уплаты налогов, раздела земель и тому подобное. И в самом деле большая часть клинописных текстов, связанных с математикой, касается экономических вопросов. С другой стороны, рытье оросительных каналов и канализационных стоков тоже требовало множества вычислений. Использование кирпичей влекло за собой арифметические и геометрические проблемы, объемы зерновых амбаров также надо было рассчитывать.