Часто говорят, что египетская геометрия родилась по необходимости, поскольку после разливов Нила приходилось всякий раз заново размечать границы земельных участков, обрабатываемых разными земледельцами. Однако известно, что такая же геометрия развилась и в Месопотамии, хотя там не было подобных разливов. Вероятнее, что египтяне имели тесные контакты с вавилонской цивилизацией, так как в Тель эль-Амарне, в долине Нила, были обнаружены глиняные таблички с клинописными текстами, датированные примерно 1500 годом до н.э.
Судя по задачам, изложенным в этих папирусах, египтяне использовали математику в государственном управлении и в храмовых хозяйствах при расчете жалования, объемов зерна, площади полей, уплате налогов, зависящих от размера земельных участков, при переводе различных систем измерения, подсчете количества кирпичей, необходимых для строительства. Кроме того, папирусы содержат задачи, касающиеся количества зерна, которое нужно для производства определенного объема пива, или количества зерна определенного качества, которое необходимо, чтобы получить тот же результат, что и с другим сортом зерна.
При изучении всех этих задач становится понятным, что египтяне располагали способами расчета площади прямоугольников, треугольников и трапеций. К сожалению, в случае с площадью треугольника, хотя они и умножали одно число на половину другого, невозможно узнать, насколько этот метод был правильным, потому что непонятно, означают использованные слова основание и высоту треугольника или же просто его стороны.
Рассматривать иллюстрации в папирусе Ринда действительно увлекательно, так как здесь можно найти знакомые вещи, которые как будто уничтожают расстояние в тысячи лет, отделяющие писца Ахмеса от нас. Первый из нарисованных треугольников относится к 51-й задаче папируса.
В этой задаче надо найти площадь треугольника с высотой 10 шестов и основанием 4 шеста. Шест равнялся 100 локтям (египетский локоть состоял из 7 ладоней и равнялся 52, 3 см). Таким образом, размеры треугольника составляли 523 м в высоту и 209, 2 м по основанию. Из решения Ахмеса становится понятно, что имелся в виду равнобедренный треугольник, разделенный надвое высотой, а далее, опираясь на это, можно построить прямоугольник с такой же площадью.
Папирус Ринда — самая древняя книга с математическими текстами, дошедшая практически неповрежденной до нашего времени. Рисунок иллюстрирует задачу 51, где требуется найти площадь треугольника.
Фрагмент глиняной таблички ВМ 85194, на котором можно увидеть иллюстрацию расчета размера основания гробницы с круглыми стенами.
Рельеф на южной стене мастабы Птаххотепа и Ахухотепа, египетских сановников XXIV века до н. э. Перед изображенной фигурой, под столом, написаны египетскими цифрами количества различных продуктов, необходимых для жизни в потустороннем мире.
Фрагмент Московского папируса, где излагается задача об усеченной пирамиде.
Имели ли египтяне представление о доказательстве или проверке своих математических действий? Папирус Ринда написан как книга упражнений для учеников того времени, так что некоторые исследователи считают, что хотя Ахмес не сформулировал никаких общих принципов, весьма вероятно, что он их знал. В любом случае, в документе содержатся задачи, которые писец должен был решать в связи с торговыми и административными делами, и методы их решения были практическими правилами, усвоенными опытным путем. Видимо, у египтян не было дедуктивной практики, основанной на системе аксиом.
Получить ясное представление о развитии математики в Древней Индии весьма трудно. С одной стороны, долгое время передача математических и научных знаний в ее культуре происходила в устной форме, с другой — политическая история Индии того периода полна различных событий. Около 4000 года до н.э. на территории нынешней Индии, в бассейне реки Инд, сформировалось классовое общество. Самыми важными городами этой культуры были Хараппа, Мохенджо-Даро, Кот-Диджи и Лотхал. Это были города-государства с развитой торговлей и ремеслами, которые установили торговые отношения с Центральной Азией, Месопотамией и Аравией. До сих пор не удалось расшифровать письменность этих культур, но археологические находки в регионе дают некоторую информацию об уровне математических знаний.