— 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (сумма делителей 284).
-284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 +11 + 20 + 22 + 44 + 55+110 (сумма делителей 220).
Кроме числовых отношений, использующих эту классификацию, пифагорейцы изучали и различные соотношения и пропорции, в которых, по их мнению, и состояла красота — например, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое... Если есть два числа р и q, то их среднее арифметическое А — это
(p + q)/2
среднее геометрическое G — √(pq), а среднее гармоническое Я, которое обратно среднему арифметическому 1 /р и 1 /q, это
2pq/(p+q)
Следовательно, можно доказать, что G — это среднее геометрическое от А и Н; то есть что среднее геометрическое двух чисел является средним геометрическим их среднего арифметического и среднего гармонического. Сводящая все три величины пропорция
A/G = G/Н
получила название совершенной пропорции из-за ее простоты, а пропорция
p/(p+q)/2 = 2pq/(p+q)/q
названа музыкальной пропорцией из-за красоты формулировки.
ГЛАВА 5
Гармония Вселенной
Отыскивая математическое основание музыкальной гармонии, пифагорейцы стали первыми, кто применил математику для описания законов природы. Связь, которую они установили между арифметикой, геометрией и музыкой, превратила музыкальное искусство в раздел математики. Кроме того, перенося на космос музыкально-числовые соотношения, они создали космологию, в которой движение звезд вызывало музыкальные звуки, находящиеся в совершенной гармонии: это была «музыка сфер».
Предшествующие греческой цивилизации культуры воспринимали природу как хаотический и пугающий мир. Однако около 600 года до н.э. начало складываться новое интеллектуальное направление рационального и критического характера, сформулировавшее идею природы упорядоченной и правильно устроенной, секреты которой человеческий разум может познать.
Вероятно, именно ионийские философы первыми попытались определить первооснову всего сущего, которой они считали некую субстанцию, остающуюся неизменной в чреде всех видимых изменений. Новое направление мысли развивалось медленно, в маленьких группах интеллектуалов, и продолжало оперировать мифологическими категориями и следовать старым ритуалам, которые укоренились в культуре представителей этого направления и среди большинства населения.
В целом эти первые греческие интеллектуалы не уделили достаточно времени тому, чтобы объяснить причины и мотивы, которые привели их к созданию теорий, а сосредоточились на их изложении с максимальной дедуктивной строгостью. У современных историков науки слишком мало источников для точного объяснения, почему именно греки стали развивать такие мощные инструменты науки, как математика. Возможно, мотивом было желание постигнуть законы физического мира: их исследования в области астрономии, оптики и музыки ставили такие задачи, которые послужили сильным импульсом к развитию математики и применению ее в этих областях.
Гравюра по дереву из «Музыкальной теории», труда композитора и исследователя музыки эпохи Возрождения Франкино Гаффурио (1492). На первом рисунке изображен библейский персонаж Иубал, «отец всех, кто играет на гуслях и свирели», остальные три рисунка изображают музыкальные эксперименты Пифагора.
Первой значительной группой, развивавшей математический взгляд на природу, была пифагорейская секта. Нет никаких сомнений, что их религиозные воззрения были мистическими, но философия природы была совершенно рациональной. Членов группы поражало, что различные явления, качественно отличающиеся друг от друга, демонстрируют одинаковые математические свойства. Они считали, что эти свойства должны быть первоосновой всех явлений. И так как они воспринимали числа как точки или как элементарные частицы материи, то число и было материей, формой существования Вселенной и причиной любого явления.
Само слово «музыка» берет начало от греческого термина musika, что значит «имеющее отношение к музам». В греческой мифологии музы были богинями — покровительницами музыки, танца, астрономии и поэзии. Можно сказать, что музыка эфемерна и существует только в памяти: она развивается во времени и неуловима. Эти ее качества, среди прочих, придают музыке несколько магический оттенок, который заставил человека использовать ее в своих ритуалах с древнейших времен и сделал ее важнейшим компонентом религиозного культа. Музыка заняла в космосе Пифагора и пифагорейцев центральное место.