Второе ограничение греческой науки состояло в том, что ей так и не удалось осознать понятия бесконечно большого, бесконечно малого и бесконечного процесса. Пифагорейцы связывали добро и зло с ограниченностью и неограниченностью соответственно. Избегая каких-либо заявлений о бесконечности прямой линии, Евклид в «Началах» утверждает, что отрезок при необходимости может быть продлен до нужных пределов. Что касается соотношения между точкой и прямой, то Аристотель настаивал на разделении этих понятий. С одной стороны, он признавал, что точки лежат на прямой, а с другой — утверждал, что непрерывная прямая не может быть образована из дискретных точек.
Даже в области целых чисел и их соотношений у греков не было никакой логической базы: ее заменяли некоторые неточные определения Евклида. Необходимость в логическом фундаменте числовой системы стала, однако, критической, когда александрийцы начали свободнее использовать числа, включая иррациональные.
Таким образом, греки оставили человечеству две отдельные ветви математики: строгую, дедуктивную и систематизированную геометрию и слишком формализованную и эмпирическую арифметику с некоторым продолжением в алгебру. Отсутствие дедуктивной алгебры привело к тому, что всякое упоминание о математической строгости относилось исключительно к геометрии, и эта ситуация сохранялась вплоть до XVII-XVIII веков, когда было положено начало развитию алгебры и математического анализа. Наконец, ограничение евклидовой геометрии фигурами, которые можно построить только с помощью линейки и циркуля, не позволяло математике решить две великие задачи. Первой было разрешение трех проблем, которые в течение веков занимали великие умы и до сих пор привлекают к себе внимание, хотя их решение было найдено в XIX веке: мы говорим о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба с помощью циркуля и линейки. Вторая задача состояла в расширении критериев существования геометрических фигур, поскольку тот факт, что доказать это существование можно было, лишь построив такую фигуру, сдерживал развитие науки. Кроме того, евклидова прямая не позволяет отложить некоторые длины, и математика, чтобы стать полезной для изучения физического мира, должна была освободиться от этого технического ограничения.
ГЛАВА 7
Пифагорейцы и неопифагорейцы
В учении, которое сегодня известно как пифагорейское, невозможно отделить ядро, приписываемое самому Пифагору Самосскому, от идей, развившихся в течение 100 лет после его смерти. Математические знания пифагорейцев в области гармонии чисел дошли до нас через труды Филолая Кротонского и Архита Тарентского.
Большинство авторов древности утверждают, что после смерти учителя школа Пифагора распалась на фракции, хотя нет единой точки зрения на то, сколько этих фракций было и как они назывались. Наиболее известно деление на пифагорейцев и пифагористов, из которых первые были мистиками, а вторые — математиками, что, возможно, отражало различия между акусматиками и математиками. Однако в наше время трудно найти свидетельства, подтверждающие или опровергающие такое деление. Считается, что так называемые пифагорейцы были первыми последователями Пифагора, и поэтому их называют старыми, или древними, пифагорейцами. Среди них наиболее выделяются фигуры Филолая Кротонского и Архита Тарентского.
Одним из немногих авторов, чьи сведения по истории науки важны для реконструкции примитивного пифагореизма, был Аристотель. Стагирит посвятил пятую главу книги I своей * Метафизики* критике и изложению доктрины «так называемых пифагорейцев», говоря его же словами. Однако некоторые современные ученые считают, что философ описывал более позднее время, когда состояние знаний нельзя было идентифицировать с учением самого Пифагора или первого поколения пифагорейцев. Другие исследователи идут еще дальше и утверждают, что различия между Пифагором и его последователями были весьма велики, так как учитель проявил себя исключительно в религиозной сфере, а его ученики занимались математическими исследованиями.
Как бы то ни было, трудно установить точную дистанцию между первыми пифагорейцами и их последователями. Пифагорейство не ограничивается доктриной последователей учителя в узком смысле этого слова: оно включает в себя и влияние, которое они сами оказали на других, в особенности на Платона.