Наконец, считается, что Архит собрал все сведения традиции о решении теоремы Пифагора, хотя точных доказательств этому нет. Неоплатоник Прокл (412-485) в своих комментариях к «Началам» Евклида первым приписал авторство теоремы самосскому ученому. Возможно, Пифагор был всего лишь мнимым автором этого открытия, а сама теорема была выдвинута и доказана анонимным гением архаической эпохи.
Удвоение куба получило также название Делосской задачи. Легенда рассказывает о ее решении Архитом, а также о его взглядах на математику как способ обеспечить политическое сотрудничество. Когда на острове Делос, месте рождения бога Аполлона, разразилась эпидемия чумы, жители острова обратились к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как им избавиться от напасти. Ответ был таков: им надо сделать новый алтарь Аполлону в форме куба, который был бы в два раза больше прежнего. Граждане Делоса попытались просто удвоить размеры прежнего алтаря, однако новый куб имел объем в восемь раз больше. Тогда они обратились за советом к Платону, который ответил им: Аполлон таким образом просто решил обратить их внимание на то, что следует неустанно заниматься геометрией. Когда эта задача стала известна Архиту, он смог разрешить ее с помощью геометрии, использовав так называемую кривую Архита. Тарентский ученый предложил использовать кривую, которая образуется движением точки, и поверхность, которая образуется движением кривой. С помощью этих инструментов он решил задачу, найдя пропорцию между двумя заданными величинами. В современной записи, приняв для простоты длину ребра первоначального куба за 1 и введя такие переменные х и у, что
1/x = x/y = y/2.
получаем: х2 - 3√2. Искомый ответ невозможно воплотить с помощью линейки и циркуля. Эти величины можно построить геометрически, найдя пересечение между тремя поверхностями: тор, конус и цилиндр.
Виртуальная реконструкция пересечения тора (светло-серый), конуса (промежуточный тон) и цилиндра (самый темный).
Философы, хронологически отделяющие Платона от пифагорейцев, занимались изучением первооснов бытия, но напрямую не применяли в своих исследованиях математику. Парменид, Зенон, Эмпедокл, Левкипп Милетский (ок. 500-430 до н.э.) и Демокрит Абдерский (ок. 460-370 до н.э.) провозгласили великие принципы, которые редко основывались на наблюдениях, но предполагали, что природа познаваема. Каждый из этих принципов представлял собой звено той цепи, которая привела к математическим исследованиям природы.
Влияние пифагорейских идей на Платона повлекло за собой быстрое развитие идей о числах и гармонии, изначально сформулированных Филолаем, а также геометрических и политических воззрений Архита. Платон был великим популяризатором математики в качестве инструмента познания действительности. Согласно Платону, чувства обманывают нас, а знание физического мира не имеет особой важности, потому что материальные вещи изменчивы. Таким образом, прямое изучение природы и физические исследования бесполезны. Физический мир — это лишь несовершенная копия мира идеального, и именно этот последний должен стать объектом изучения математиков и философов. Геометрия же для Платона была инструментом движения Вселенной к добру.
Платон (ок. 427-347 до н.э.) родился в знатной семье и в молодости стремился заниматься политикой, однако вскоре понял, что этот путь не подходит для людей, обладающих совестью. Он отправился в Египет и в Южную Италию, где посетил пифагорейцев. Платон был не ученым-математиком, а скорее дилетантом-энтузиастом и был убежден в важности этой дисциплины как науки наук. Тем не менее практически все важнейшие математические труды того времени принадлежат его друзьям или ученикам. В Афинах философ основал Академию, высшую школу, при которой находилось большое пространство со зданиями, где Платон со своими ассистентами читал лекции. Изучение философии и математики стало основным назначением Академии в классический период. Древняя Академия была разрушена римлянами в 86 году до н.э., но преподавание там продолжалось, и история Академии насчитывала уже 900 лет, когда в 529 году христианский император Юстиниан повелел закрыть ее, обвинив в обучении языческим и извращенным наукам.