Для определения минимального значения СКО доходности портфеля при заданном значении МО доходности портфеля необходимо решить уравнение
В результате получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы, и
где:
Анализ полученных соотношений показывает, во — первых, объёмы инвестирования, и прямо пропорциональны МО доходности портфеля, следовательно, граница выпуклой части достижимого множества является гиперболой. Во — вторых, условия, и ограничивают данную гиперболу. Координаты точек и, которые ограничивают гиперболу, могут быть определены из условий, На рис. 1.4 такими точками являются, и, которые соответствуют портфелям с двумя активами. В — третьих, граница выпуклой части достижимого множества формируется:
на участке — дугой гиперболы, т. е. двумя активами и;
на участке — дугой гиперболы, т. е. тремя активами, и;
на участке — дугой гиперболы, т. е. двумя активами и.
Таким образом, три рискованных актива, и порождают достижимое множество портфелей, которое в графической интерпретации располагается на плоскости в виде сложной фигуры, где точка является вершиной достижимого множества. Граница достижимого множества формируется дугами трёх гипербол.
Достижимое множество портфелей, содержащих рискованных активов. Как следует из предыдущего примера, из — за громоздких формул уже при для определения достижимого множества целесообразно использовать исключительно численные методы.
На конкретном примере рассмотрим особенности достижимого множества портфелей, которые содержат десять активов () с коррелированными доходностями и параметрами, приведенными в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Параметры активов
Активы
Параметры
активов
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
А10
13,0
12,0
11,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
0,400
0,378
0,356
0,333
0,311
0,289
0,267
0,244
0,222
0,200
На рис. 1.5 представлено достижимое множество портфелей для всех возможных сочетаний относительных объёмов инвестирования в каждый актив. Сравнительный анализ рис. 1.4 и 1.5 показывает, что при и особенности построения, характер заполнения внутренней области и форма внешних границ достижимых множеств качественно идентичны.
Рис. 1.5. Достижимое множество портфелей, которые содержат десять активов
Следует отметить, что, во — первых, портфель, соответствующий точке, обладает минимальным значением СКО доходности из всего достижимого множества. Во — вторых, некоторые инвесторы отдают предпочтение портфелям с равномерным распределением объёмов инвестирования в каждый актив. На достижимом множестве рис. 1.5 такой вариант портфеля (т. е. при) соответствует точке (,). В — третьих, как правило, для снижения рисков инвестор ограничивает максимальный объём инвестирования в i—ый тип актива. Например, ограничение максимального объёма инвестирования в каждый актив до 20 % приводит к сжатию достижимого множества, как это показано на рис. 1.5 в виде выделенной пунктирной линией внутренней области достижимого множества. Данная область окружает точку, которая соответствует портфелю с равномерным распределением объёмов инвестирования.
Таким образом, при рискованные активы порождают достижимое множество портфелей, которое по своим основным качественным характеристикам идентично достижимому множеству портфеля, содержащего три актива.
Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованных активов. Представим совокупность из рискованных активов как актив с параметрами
Учитывая соотношения (1.12), (1.13), (1.20) и (1.21), получаем
здесь.
То есть комбинацию безрискового актива с совокупностью рискованных активов с объёмами инвестирования можно представить как комбинацию безрискового актива с одним рискованным активом. Для такой комбинации активов достижимое множество портфелей находится на отрезке прямой, соединяющей точки и.
Анализ полученных соотношений показывает, что относительный объём инвестирования в i—ый рискованный актив портфеля составляет, но доли рискованных активов по стоимости актива остаются неизменными.