Рис. 1.5. Таблицы со всеми возможными сочетаниями от одной до пяти логических переменных
Одна переменная требует двух строк: в одной она имеет значение True, в другой — False. Чтобы добавить переменную, нужно удвоить число строк. Новой переменной задается True в исходных строках и False — в добавленных (рис. 1.5). Размер таблицы истинности увеличивается вдвое с каждым добавлением переменной, поэтому такую таблицу оправданно использовать лишь в случаях, когда переменных немного[12].
Давайте посмотрим, как можно использовать таблицу истинности для анализа задачи.
Хрупкая система 
Предположим, что мы должны создать систему управления базами данных с соблюдением следующих технических требований:
1) если база данных заблокирована, то мы можем сохранить данные;
2) база данных не должна блокироваться при заполненной очереди запросов на запись;
3) либо очередь запросов на запись полна, либо полон кэш;
4) если кэш полон, то база данных не может быть заблокирована.
Возможно ли это? При каких условиях станет работать такая система?
Сначала преобразуем каждое техническое требование в логическое выражение. Такую систему управления базами данных можно смоделировать при помощи четырех переменных.
| A: База данных заблокирована | 1: A —> B |
| B: Есть возможность сохранить данные | 2:!(A AND C). |
| C: Очередь запросов на запись полна | 3: C OR D. |
| D: Кэш полон | 4: D —>!A. |
Далее создадим таблицу истинности со всеми возможными сочетаниями переменных (табл. 1.2). Дополнительные столбцы добавлены для проверки соблюдения технических требований.
Все технические требования удовлетворяются в состояниях с 9-го по 11-е и с 13-го по 15-е. В этих состояниях A = False, а значит, база данных не может быть заблокирована никогда. Обратите внимание, что кэш не заполнен лишь в состояниях 10 и 14.
Чтобы проверить, чему вы научились, попробуйте разгадать загадку «Кто держит зебру?»[13]. Это известная логическая задача, ошибочно приписываемая Альберту Эйнштейну. Говорят, что только 2 % людей могут ее решить, но я сильно сомневаюсь. Используя большую таблицу истинности и правильно упрощая и объединяя логические высказывания, вы ее разгадаете, я уверен в этом.
Всегда, имея дело с ситуациями, допускающими один из двух вариантов, помните: их можно смоделировать с помощью логических переменных. Благодаря этому очень легко получать выражения, упрощать их и делать выводы.
А теперь давайте взглянем на самое впечатляющее применение логики: проектирование электронно-вычислительных машин.
Логика в вычислениях
Группы логических переменных могут представлять числа в двоичной форме[14]. Логические операции в случае с двоичными числами могут объединяться для расчетов. Логические вентили выполняют логические операции с электрическим током. Они используются в электрических схемах, выполняющих вычисления на сверхвысоких скоростях.
Логический вентиль получает значения через входные контакты, выполняет работу и передает результат через выходной контакт. Существуют логические вентили AND, OR, XOR и т. д. Значения True и False представлены электрическими сигналами с высоким и низким напряжением соответственно. Сложные логические выражения можно вычислять таким образом практически мгновенно. Например, электрическая схема на рис. 1.6 суммирует два числа.
Давайте посмотрим, как работает эта схема. Не поленитесь, проследите за ходом выполнения операций, чтобы понять, как устроена магия (рис. 1.7).
Рис. 1.6. Схема суммирования двухразрядных чисел, передаваемых парами логических переменных (A1A0 и B1B0) в трехразрядное число (S2S1S0)
.14
True = 1, False = 0. Если вы не знаете, почему 101 — это 5 в двоичной системе счисления, загляните в приложение I.