). Такая форма записи показывает, как выражение будет суммироваться для каждого значения i:
выражение с участием i.
Например, суммирование первых пяти нечетных чисел записывается так:
.
Обратите внимание: чтобы получить слагаемые 1, 3, 5, 7 и 9, вместо i последовательно используются числа от 0 до 4 включительно. Следовательно, сумма первых n натуральных чисел составляет:
Когда гениальному математику Гауссу было 10 лет, он устал от суммирования натуральных чисел одного за другим по порядку и нашел такой ловкий прием:
Догадаетесь, каким образом Гаусс это обнаружил? Объяснение приема приведено в приложении II. Давайте посмотрим, как можно его использовать для решения следующей задачи.
Недорогой перелет 
Вы должны слетать в Нью-Йорк в любое время в течение следующих 30 дней. Цены на авиабилеты изменяются непредсказуемо в соответствии с датами отъезда и возвращения. Сколько пар дней необходимо проверить, чтобы отыскать самые дешевые билеты для полета в Нью-Йорк и обратно на ближайшие 30 дней?
Любая пара дней между сегодняшним (день 1) и последним (день 30) допустима при условии, что возвращение будет в тот же день или позже, чем отъезд. Следовательно, 30 пар начинаются с 1-го дня, 29 пар начинаются со 2-го дня, 28 — с 3-го и т. д. И есть всего одна пара, приходящаяся на последний день. Таким образом, 30 + 29 + … + 2 + 1 — общее количество пар, которое нужно рассмотреть. Мы можем записать это как 
и использовать удобную формулу Гаусса:
пар.
Кроме того, мы можем решить эту задачу при помощи комбинаций, выбрав 2 дня из 30. Порядок не имеет значения: на более ранний день придется отъезд, на более поздний — возвращение. Таким образом, мы получим 
. Что-то не то… Дело в том, что мы должны учесть еще и случаи, когда прибытие и отъезд приходятся на одну дату. Так как дней всего 30, следовательно, 
.
1.4. Вероятность
Принципы случайности помогут вам разобраться в азартных играх, предсказании погоды или проектировании системы резервного хранения данных с низким риском отказа. Принципы эти просты, и все же большинство людей понимают их неправильно.
Рис. 1.8. Случайное число[20]
Сейчас мы применим наши навыки решения комбинаторных задач к вычислению вероятностей. Затем мы узнаем, каким образом различные типы событий используются для решения задач. Наконец, мы увидим, почему азартные игроки проигрываются в пух и прах.
Подсчет количества возможных вариантов
Бросок кубика имеет шесть возможных результатов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Шансы получить 4, следовательно, составляют 
. А какова вероятность выпадения нечетного числа? Это может произойти в трех случаях (когда на кубике будет 1, 3 или 5), потому шансы составляют 
. Вероятность того, что некое событие произойдет, выражается такой формулой:
Она работает, потому что каждый возможный исход одинаково вероятен. Кубик имеет ровные грани, и человек, бросающий его, нас не обманывает.
Еще одно формирование команды 
Снова 23 человека хотят вступить в вашу команду. В отношении каждого кандидата вы подбрасываете монету и принимаете его, только если она падает «орлом». Какова вероятность, что вы никого не возьмете?
Мы уже убедились, что существует 223 = 8 388 608 возможных вариантов состава команды. Вам придется рассчитывать только на себя в одном-единственном случае: если в результате подбрасывания монеты выпадут 23 «решки» подряд. Вероятность такого события равна P(никто) = 
. Если посмотреть на это с высоты птичьего полета, то вероятность того, что конкретный рейс коммерческой авиакомпании потерпит крушение, составляет порядка 1 из 5 млн.
Независимые (совместные) события
Если вы одновременно бросаете монету и кубик, то шанс получить «орел» и 6 равняются 
, или 8 %. Когда исход одного события не влияет на исход другого, их называют независимыми. Вероятность получить сочетание конкретных результатов двух независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них.
Резервное хранение