Рис. 42. Перестройка плоского сечения поверхности с ребром возврата
Метаморфозу 3 также можно увидеть на видимом контуре, для этого достаточно посмотреть на двугорбого верблюда, проходя мимо него (рис. 43). В момент метаморфозы профиль имеет такую же особенность, как кривая у3 = х4.
Рис. 43. Перестройка 'верблюд'
Все перестройки видимых контуров поверхностей в общих однопараметрических семействах исчерпываются первыми тремя изображенными на рис. 40, 1 — 3.
Метаморфозы каустик, движущихся в трехмерном пространстве, получаются сечениями больших (трехмерных) каустик в четырехмерном пространстве-времени трехмерными изохронами, Эти метаморфозы изображены на рис. 44 и 45.
Рис. 44. Типичные переустройки каустик в трехмерном пространстве: серия А
Одна из этих метаморфоз (1) описывает рождение новой каустики "из воздуха". Мы видим, что вновь родившаяся каустика имеет вид блюдца с заостренными краями. Через время t после рождения длина и ширина блюдца порядка √t, глубина порядка t, а толщина порядка t √t.
Рис. 45. Типичные перестройки каустик в трехмерном пространстве: серия D
Каустика может сделаться видимой, если на пути светового пучка имеется рассеивающая среда (пыль, туман). В. М, Закалюкин предположил, что каустики этого вида наблюдатели описывают как летающие блюдца.
Ребра возврата движущихся в трехмерном пространстве каустик заметают поверхность бикаустики. Особенности бикаустик общего положения, соответствующих различным метаморфозам рис. 44 и 45, изображены на рис. 46.
Рис. 46. Типичные особенности бикаустик
Как известно, лучи описывают распространение волн (скажем, световых) лишь в первом приближении; при более точном волновом описании появляется новый существенный параметр — длина волны (лучевое описание пригодно лишь в случае, когда эта длина мала по сравнению с характерным геометрическим размером системы).
Интенсивность света вблизи каустики больше, а вблизи ее особенностей еще больше. Коэффициент усиления оказывается пропорциональным l-α, где l — длина волны, а показатель α — рациональное число, зависящее от характера особенности. Для простейших особенностей значения α таковы:
Каустика 1/6
Ребро возврата 1/4
Ласточкин хвост 3/10
Пирамида 1/3
Кошелек 1/3
Таким образом, ярче всего светятся точечные особенности тина пирамиды и кошелька. В случае движущейся каустики в отдельные моменты времени могут возникать более яркие особенности[4] А5, D5 (см. рис. 44, 45, α = 1/3 для А5, 3/8 для D5).
Если свет настолько интенсивен, что способен разрушать среду, то разрушение начнется в точках наибольшей яркости, поэтому показатель α определяет зависимость интенсивности разрушающего среду света от частоты.
Аналогичная описанной выше классификация особенностей каустик и волновых фронтов проведена в многомерных пространствах до размерности 10 (В. М, Закалюкин)
Предсказания теорией особенностей геометрии каустик, фронтов и их перестроек получили полное подтверждение в экспериментах, и сейчас даже кажется странным, почему эта теория не была построена лет двести назад. Дело, однако, в том, что соответствующий математический аппарат не тривиален[5] и связан с такими разделами математики, как классификации простых алгебр Ли и кристаллографических групп Кокстера, с теорией кос, теорией ветвления интегралов, зависящих от параметров, и т. д — он даже связан (довольно таинственным образом) с классификацией правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве.
Катастрофисты пытаются избежать серьезной математики. Например, в составленной К. Знманом в 1980 г. обширной библиографии по теории катастроф опущены ссылки на математические работы, вышедшие после 1976 г. Таким образом, катастрофисты продолжают попытки экспериментально нащупать ответы в задачах, давно решенных математиками. Например, в работе 1980 г. о ветровых полях и движении льда можно найти полуудачные попытки угадать список метаморфоз каустик в трехмерном пространстве (см. рис. 44, 45), опубликованный математиками еще в 1976 г.
9. Крупномасштабное распределение вещества во вселенной
В настоящее время распределение вещества во Вселенной крайне неоднородно (существуют планеты. Солнце, звезды, галактики, скопления галактик и т. д.). Современная астрофизика считает, что на ранних этапах развития Вселенной таких неоднородностей не было. Как же они образовались? Я. Б. Зельдович в 1970 г. предложил объяснение образования скоплений пылевидной материи, математически эквивалентное анализу возникновения особенностей каустик, начатому в 1963 г. Е. М. Лифшицем, Халатниковым и Судаковым.
4
Все перечисленные особенности классифицируются по типам Ak, Dk, о которых подробнее рассказано выше.
5
Первоначальное доказательство теоремы Уитни, о которой мы начали, занимало около 40 страниц; хотя окончательные геометрические результаты теории особенностей легко могут быть понятны и использованы, доказательства продолжают оставаться сложными.