Таким образом, хотя при каждом индивидуальном значении параметра систему малым шевелением можно превратить в невырожденную, этого нельзя сделать одновременно при всех значениях параметра: всякая кривая, близкая к рассматриваемой, пересекает границу раздела при близком значении параметра (вырождение, устраненное малым шевелением при данном значении параметра, вновь возникает при некотором близком значении).
Итак, вырожденные случаи неустранимы, если рассматривается не индивидуальная система, а целое семейство. Если семейство однопараметрическое, то неустранимы лишь простейшие вырождения, изображаемые границами коразмерности один (т. е. задающимися одним уравнением) в пространстве всех систем. От более сложных вырожденных систем, образующих множество коразмерности два в пространстве всех систем, можно избавиться малым шевелением однопараметрического семейства.
Если мы интересуемся двупараметрическим семейством, то можно не рассматривать вырожденных систем, образующих множество коразмерности три и т. д.
Тем самым возникает иерархия вырождений по коразмерностям и стратегия их исследования: вначале следует изучать случаи общего положения, затем вырождения коразмерности один, затем — два и т. д. При этом исследование вырожденных систем не должно ограничиваться изучением картины в момент вырождения, но должно включать описание перестроек, происходящих, когда параметр, меняясь, проходит через вырожденное значение.
Изложенные выше общие соображения принадлежат А. Пуанкаре и применимы не только к исследованию положений равновесия эволюционных систем, но к большей части всего математического анализа. Хотя они были высказаны уже сто лет назад, успехи в реализации намеченной А. Пуанкаре программы теории бифуркаций остаются в большинстве областей анализа довольно скромными, отчасти в силу больших математических трудностей, отчасти же вследствие психологической инерции и засилья аксиоматико-алгебраического стиля.
Вернемся, однако, к положениям равновесия эволюционных систем. К настоящему времени решенным можно считать лишь вопрос о перестройках фазовых кривых при бифуркациях положений равновесия в однопараметрических семействах общего положения; уже случай двух параметров выходит за рамки возможностей сегодняшней науки.
Рис. 13. Кривая равновесий однопараметрического семейства систем
Результаты исследования общего однопараметрического семейства суммированы на рис. 13 — 18. На рис. 13 изображено однопараметрическое семейство эволюционных процессов с одномерным фазовым пространством (по оси абсцисс отложено значение параметра ε, по оси ординат — состояние процесса х).
Рис. 14. Превращение нетипичных бифуркаций в типичные при малом шевелении семейства
Для однопараметрического семейства общего положения равновесия при всевозможных значениях параметра образуют гладкую кривую (Г на рис. 13, в более общем случае размерность многообразия состояний равновесия равна числу параметров). В частности, это означает, что изображенные на рис. 14 слева бифуркации в семействе общего положения не встречаются: при малом изменении семейства Г превращается в гладкую кривую одного из изображенных на рис. 14 справа типов[3].
Проектирование кривой Г на ось значений параметра в случае однопараметрического семейства имеет лишь особенности типа складки (при большем числе параметров появляются и более сложные особенности теории Уитни: например, в общих двупараметрических семействах проектирование поверхности равновесий Г на плоскость значений параметров может иметь точки сборки, где сливаются три положения равновесия).
Таким образом, при изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (критические значения проекции, a, b, с, d на рис. 13). Вне этих значений положения равновесия гладко зависят от параметров. При подходе параметра к бифуркационному значению положение равновесия "умирает", слившись с другим (или же "из воздуха" рождается пара положений равновесия).
Из двух рождающихся (или умирающих) вместе положений равновесия одно устойчиво, другое неустойчиво.
В момент рождения (или смерти) оба положения равновесия движутся с бесконечной скоростью: когда значение параметра отличается от бифуркационного на ε, оба близких положения равновесия удалены друг от друга на расстояние порядка √ε.
На рис. 15 изображена перестройка семейства фазовых кривых на плоскости в общем однопараметрическом семействе. Устойчивое положение равновесия ("узел") сталкивается при изменении параметра с неустойчивым ("седлом"), после чего оба исчезают. В момент слияния на фазовой плоскости наблюдается картина необщего положения ("седло-узел").
3
Под "типом" здесь понимается класс эквивалентности с точностью до диффеоморфизма плоскости, а не с точностью расслоенного диффеоморфизма (расслоенный диффеоморфизм — это семейство диффеоморфизмов фазового пространства, зависящих от параметра, сопровождаемых диффеоморфной заменой параметра).