Неевклидова геометрия другого типа, называемая гиперболической, — это геометрия, в которой евклидов постулат о параллельных прямых заменен постулатом, гласящим, что на поверхности через точку, расположенную вне данной линии, проходит бесконечное множество параллельных ей линий. Грубой моделью части поверхности такого типа является седловидная поверхность. Говорят, что такая поверхность имеет отрицательную кривизну. Она не замыкается сама на себя. Подобно евклидовой плоскости, она тянется до бесконечности во всех направлениях.
И эллиптическая, и гиперболическая геометрии представляют собой геометрии поверхностей постоянной кривизны. Это означает, что кривизна везде одна и та же, объекты не претерпевают искажений при переходе из одной точки в другую. Неевклидова геометрия более общего типа, обычно называемая римановой геометрией, это такая геометрия, в которой кривизна может меняться от точки к точке любым заданным образом.
Точно так же, как имеются евклидовы геометрии пространств 2, 3, 4, 5, 6, 7…. измерений, существуют неевклидовы геометрии 2, 3, 4, 5, 6, 7…. измерений.
При разработке общей теории относительности Эйнштейн счел необходимым использовать четырехмерную риманову геометрию. Однако вместо четвертого пространственного измерения Эйнштейн выбрал в качестве четвертого измерения время. В понятии четвертого измерения нет ничего таинственного или мистического. Просто это означает, что каждое событие, которое имеет место во Вселенной, представляет собой событие, происходящее в четырехмерном мире пространства — времени.
Это можно уяснить себе, рассмотрев следующее событие. Вы садитесь в автомобиль в 2 часа дня и едете из своего дома в ресторан, расположенный в 3 км к югу и в 4 км к востоку от вашего дома. На двухмерной плоскости кратчайшее расстояние от вашего дома до ресторана есть гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 3 и 4 км. Эта гипотенуза имеет длину 5 км.
Но вам требуется также затратить какое-то время, скажем 10 мин, на поездку. Этот промежуток времени может быть изображен на трехмерном графике. Одна координата на этом графике есть расстояние к югу в километрах, другая — расстояние к востоку в километрах, а координата по вертикали — время в минутах. На трехмерном графике пространства — времени «интервал» (пространственно-временной промежуток) между двумя событиями (вашим отъездом из дому и прибытием к ресторану) изображен в виде прямой.
Эта прямая линия не есть график реальной поездки. Просто она является мерой пространственновременного расстояния между двумя событиями.
График поездки может быть сложной кривой, поскольку ваша машина ускоряется в начале движения, расположение улиц может сделать невозможной поездку к ресторану по прямой, где-то в пути вы остановитесь при красном свете, и, наконец, вы должны испытать отрицательное ускорение, когда останавливаете машину. Сложный волнистый график реальной поездки в теории относительности называется «мировой линией» поездки. В рассмотренном случае это мировая линия в трехмерном пространстве — времени, или (как его иногда называют) в трехмерном пространстве Минковского.
Так как эта поездка на автомобиле происходила на плоскости, имеющей два измерения, оказалось возможным добавить еще одно измерение — временное и изобразить ее в виде трехмерного графика.
Когда события происходят в трехмерном пространстве, невозможно нарисовать график в четырехмерном пространстве — времени, но математики умеют обращаться с такими графиками, не рисуя их. Попытайтесь представить себе четырехмерного ученого, который умеет чертить четырехмерные графики с такой же легкостью, как обычный ученый чертит двух- и трехмерные графики. Три координаты его графика соответствуют трем измерениям нашего пространства. Четвертая координата — это наше время. Если космический корабль улетает с Земли и приземляется на Марсе, наш воображаемый ученый изобразит мировую линию этого путешествия в виде кривой на своем четырехмерном графике. (Линия будет кривой, так как корабль не может проделать такое путешествие без ускорений.) Пространственно-временной «интервал» между отлетом и приземлением будет изображаться на этом графике прямой линией.
В теории относительности всякий предмет представляет собой четырехмерную структуру, движущуюся вдоль мировой линии в четырехмерном мире пространства — времени. Если какой-либо предмет рассматривается покоящимся по отношению к трем пространственным координатам, он все равно движется во времени. Его мировая линия будет прямой, параллельной временной оси графика. Если предмет совершает равномерное движение в пространстве, его мировая линия по-прежнему будет прямой, но теперь уже непараллельной оси времени. Если предмет движется неравномерно, его мировая линия становится кривой.