Это неверно. Между гранями не прямой угол, грань ВА криволинейная, является дугой. При деформации радиус дуги увеличивается. А следовательно и удлинение не равно нулю.
Далее Ильюшин пишет [7,с.177]: «Рассмотрим случай… Обобщенный закон Гука был ранее записан нами в декартовых координатах. Но так как мы рассматриваем деформированное и напряженное состояние в точке, то этот закон имеет тот же вид в любой криволинейной ортогональной системе координат…». Закон Гука должен быть записан в сферических координатах для твердого тела, но не для точки.
Для кубического элемента твердого тела (описываемого тензором) верно, для кольцевого сегмента полностью неверно так как касательные напряжения по одной из площадок препятствуют смещению колец обечайки цилиндра, а по второй площадке препятствуют отделению сегмента из состава кольца:
На основании симметрии кольцевого сегмента, его нельзя считать в качестве кубического элемента. А, следовательно, нельзя считать кольцевые напряжения по сторонам кольцевого сегмента в качестве главных напряжений.
Касаемо сравнения геометрий приведем следующее:
1) в теории упругости [5] указывается об условии равновесия кубического элемента, заключающегося в том, что должны быть равны площади перпендикулярных граней для равенства моментов от касательных напряжений (касательные напряжения по смыслу определяются как сумма касательных напряжений от элементарных площадок, расположенных по стороне элемента);
2) в теории упругости, как показано в работе академика Новожилова В.В. [6.с.88] приводится принцип (на рисунке) на примере параллелепипеда, состоящий в том, что со сменой системы координат, меняется геометрия фигуры.
Сегмент не может быть кубическим элементом на основании:
по пункту 1 – сегмент не будет в состоянии равновесия, т.к. приняв высоту сегмента и кубического элемента одинаковой, в «плане» площадь поверхности сегмента окажется больше площади поверхности кубического элемента. И тем самым интегральная сумма от напряжений на элементарных площадок по площадям, будут не равны.
по пункту 2 – из фигуры в «плане» в форме трапеции с криволинейными основаниями нельзя получить квадрат. Автору настоящей работы такой способ неизвестен.
__
Цилиндр рассматривается в цилиндрической системе координат. Но в построении теории закон Гука используется в его записи для прямоугольной системы координат.
Академик Ильюшин [7.с.177] об этом указывает, что закон применяется для точки и поэтому для точки будет в форме прямоугольных координат выглядеть одинаково и в криволинейной ортогональной системе координат.
Геометрия кубического элемента связана с формулировкой закона Гука. И поэтому полностью некорректно элемент кольцевого сегмента рассмотрен в том же качестве, что и кубический элемент. Т.к. закон Гука для кольцевого сегмента, превышающего размерами точку, не выполняется. И, следовательно, грани кольцевого сегмента не являются сторонами кубического элемента. А следовательно и напряжения по сторонам сегмента не являются главными напряжениями.
Покажем ниже ориентацию тензора главных напряжений при совмещении его с кольцевым сегментом. И тем самым различие в направлениях главных напряжений с кольцевыми напряжениями (выбраны для примера).
Применим подход теории балок, по которому внутри сегмента «в плане» выделим квадратный контур. На стороны контура спроецируем напряжения со сторон трапецеидального сегмента. Затем внутри квадратного сегмента найдем направление элемента главных напряжений. В результате получим совмещение в одной точке из кольцевого сегмента и кубического элемента главных напряжений, на котором (совмещении) будет видно отличие в направлениях между кольцевыми напряжениями и главными напряжениями.
В основании задачи Ламе заложена безмоментаная расчетная модель, к построению расчетного аппарата возникает вопрос замены кольцевого сегмента кубическим элементом.
С учетом отсутствия моментного варианта теории (следует из расчетной модели), теорию толстых оболочек по задаче Ламе следует заменить на теорию толстых оболочек, построенную аналогично теории тонких оболочек. В такой теории толстых оболочек снимается ограничение теории тонких оболочек по погрешности, не позволяющее выполнять расчеты толстостенных оболочек сосудов.
6. Универсальная (общая) теория оболочек
Сосуды и аппараты, как известно, российскими нормами делятся на сосуды до 21МПа и сосуды высокого давления до 130МПа. Условной границей деления сосудов является отношение толщины стенки к диаметру, равное 0,1. Эта цифра означает, что для теории тонких оболочек, заложенной в нормах расчета сосудов до 21МПа, принята погрешность 10%. В случае сосудов высокого давления, для которых точность теории тонких оболочек неудовлетворительная, в нормах заложена теория толстых оболочек, построенную на основе решения задачи Ламе (задача расчета полого цилиндра от давления). При выводе теории тонких оболочек из теории упругости применены упрощения, в результате которых трехмерная задача теории упругости сводится к двумерной задаче [3]. В отличии от этого, решение задачи Ламе для толстых оболочек представляет собой непосредственное применение формул теории упругости к случаю цилиндрической оболочки под давлением. В результате имеется обстоятельство, когда сосуды до 21МПа и сосуды высокого давления рассчитываются по существенно отличающимся теориям.