выражены две мысли, про которые неверно было бы сказать, что одна из них принадлежит главному, а другая – придаточному предложению. Эти мысли таковы:
а) А утверждал, что он видел Б,
б) А не видел Б.
Выражая первую мысль, слова придаточного предложения имеют косвенное значение, в то время как те же слова, выражая вторую мысль, имеют прямое значение. Поэтому придаточное предложение, входящее в (14), нельзя заменить предложением с тем же истинностным значением.
Указанная замена бывает невозможна иногда и в случаях, когда слова в придаточном предложении берутся только в прямом значении. Именно, это имеет место тогда, когда придаточное предложение, помимо некоторой цельной мысли, выражает еще и часть другой мысли. Так обстоит дело, например, в предложении
(15) «Так как удельный вес льда меньше удельного веса воды, лед плавает в воде».
Мы имеем здесь три мысли:
а) удельный вес льда меньше удельного веса воды,
б) если нечто имеет удельный вес, который меньше удельного веса воды, то оно плавает в воде,
в) лед плавает в воде.
Придаточное предложение, входящее в (15), выражает не только первую мысль, но и часть второй мысли. Поэтому его нельзя просто заменить другим предложением с тем же истинностным значением, ибо поступив так, мы изменили бы и вторую мысль; изменение же последней могло бы затронуть также определяемое ею истинностное значение, что в свою очередь могло отразиться на истинностном значении всего предложения (15).
Как же следует применять принцип замены равнозначного на равнозначное в сложно-подчиненных предложениях, содержащих придаточные предложения четвертой группы? Сложное предложение следует предварительно подвергнуть логическому анализу, выявив содержащиеся в нем мысли; это означает замену данного предложения другим предложением, совпадающим с ним по смыслу, но в котором все мысли представлены явно
Например, в результате такого анализа предложение (14) принимает вид:
(16) «А утверждал, что он видел Б, и А не видел Б».
Применимость принципа замены равнозначного на равнозначное к предложениям «А утверждал, что он видел Б» и «А не видел Б», рассматриваемым (каждое) в целом, очевидна. Что касается придаточного предложения «он видел Б», то к нему правило замены тоже применимо, но только в той форме, в какой это правило применяется к косвенной речи.
Фреге понимал, что не всякое предложение легко поддается анализу по предложенному им способу. Он писал: «Если мы станем так рассматривать все встречающиеся в языке придаточные предложения, мы вскоре встретим такие, которые не так-то легко разложить по этим полочкам (имеются в виду выделенные Фреге четыре группы придаточных предложений.- Б.Б.). Причина этого, как мне кажется, состоит в том, что эти придаточные предложения имеют отнюдь не такой простой смысл. Кажется, почти всегда мы соединяем с главной мыслью, которую мы выражаем, побочные мысли, которые, хотя они и не выражаются в языке, слушатель, по законам психологии, тоже связывает с нашими словами» [5, стр. 46]. В таких случаях следует точно выяснить, что же именно имел в виду человек, высказавший данное предложение, и только после этого проводить анализ последнего.
***
Математическая логика, по крайней в основной, «классической», ее части, охватывающей обычное двухзначное исчисление высказываний и исчисление предикатов, носит объемный характер. В ней справедлив так называемый принцип объемности, согласно которому два предиката (свойства или отношения) не различаются, если они имеют один и тот же объем. Этот принцип получил четкую формулировку после того, как Фреге ввел в логику представление о предикатах как о логических функциях, т. е. функциях, относящих предметам (двойкам, тройкам и т. д. предметов) рассматриваемой предметной области истинностные значения – истину или ложь[45]. В объемной логике предикат считается заданным, если указан его объем, т. е. в какой-либо форме сообщено, каким предметам (парам, тройкам и т. д. предметов) рассматриваемой предметной области предикат относит «истину». Поэтому оказывается возможным просто отождествить свойства с множествами предметов, а отношения – с множествами пар, множествами троек и т. д. предметов. Свойства и отношения, рассматриваемые таким образом, можно называть свойствами и отношениями в объемном смысле. В математике объемный подход полностью себя оправдывает. Хорошо известно, что средств объемной, теоретико-множественной логики достаточно для обоснования большей части современной математики.
45 Термина «предикат» в том смысле, в каком его употребляют в современной логике (как выражение, равнозначное выражению «логическая функция») Фреге не применяет. Логические функции от одного аргумента он называет понятиями (причем фрегевские понятия совпадают с общими свойствами), а логические функции от двух аргументов – отношениями.
Следует иметь в виду, что в системе Фреге каждая логическая функция определена на универсальной предметной области, включающей в себя любые объекты (Фреге не налагает никаких ограничений на выражение «любой»). Эта особенность исчисления Фреге обусловила его противоречивость (противоречие в системе Фреге было обнаружено Б. Расселом).