Это чем-то похоже на рыбалку. Если тебе достаточно и маленькой рыбки, ты получишь удовольствие, если поймаешь хоть что-то. А вот если ты собираешься поймать самую большую из рыб, которую когда-либо ловили, — эдакое мифическое создание, существующее только в легендах, — то, скорее всего, придешь домой с пустыми руками. Уже прошло тридцать пять лет, а гипотеза Римана по-прежнему остается недоказанной. Как говорят математики: то, что доказано на 90 процентов, — на самом деле не доказано.
Так я рассуждал, отвергая предложение Черна. Но на самом деле все было гораздо серьезнее. В то время, как я уже говорил, я был полностью поглощен общей теорией относительности, пытаясь понять, какие из особенностей нашей Вселенной возникают вследствие взаимодействия гравитации, искривления пространства и геометрии. Я не знал, когда мои мысли повернулись в этом направлении, однако я предчувствовал, что нахожусь в начале великого похода, собирая воедино все силы геометрии, чтобы двинуться в сторону истины.
Будучи ребенком, появившимся на свет в более чем стесненных обстоятельствах, я никогда не имел возможности увидеть большую часть мира. Моя страсть к геометрии родилась у меня еще в раннем возрасте из желания нанести на карту страну, столь большую, как Китай, и путешествовать по морю, не имеющему конца. Мне посчастливилось совершить куда более дальнее путешествие — эту возможность мне предоставила геометрия. Только теперь вместо одной страны передо мной была вся Земля, а вместо моря — Вселенная. Ну а маленькую соломенную сумку, которую я собирался всюду возить за собой, заменил небольшой портфель с линейкой, циркулем и транспортиром.
Третья глава
Новая разновидность молотка
Геометрия, несмотря на весьма насыщенную историю и впечатляющие достижения, которыми она может похвастаться на сегодняшний день, не является завершенным произведением, она по-прежнему развивается, постоянно открывая заново саму себя. Одним из последних нововведений в геометрии, внесшим определенный вклад в теорию струн, стало создание геометрического анализа — подхода, который ярко проявил себя только в последние десятилетия. Основной идеей этого подхода является использование мощных методов математического анализа (частью которого является дифференциальное исчисление) для интерпретации геометрических понятий и, напротив, использование геометрической интуиции для интерпретации понятий анализа. Едва ли это новшество станет последним в геометрии — как не стали последними в истории геометрии те нововведения, о которых мы уже говорили. Тем не менее геометрический анализ уже достиг весьма значительных успехов.
К работе в этой области я приступил в 1969 году, учась на первом курсе аспирантуры в Беркли. Для меня лично все началось с необходимости найти книгу для чтения во время рождественских каникул. Не проявив интереса к четырем наиболее продаваемым книгам того года — «Случай портного», «Крестный отец», «Машина любви» и «Штамм “Андромеда”», я остановился на книге, название которой было куда менее популярным — «Теория Морса» американского математика Джона Милнора. Меня особенно заинтересовала глава этой книги, посвященная топологии и кривизне, в которой разбиралось утверждение, что локальная кривизна заметно влияет на геометрию и топологию. С тех пор я постоянно возвращаюсь к этому утверждению, поскольку локальная кривизна поверхности определяется путем взятия производных по этой поверхности. Иными словами, определение кривизны требует использования методов анализа. Исследование влияния кривизны на геометрию, таким образом, составляет самую сущность геометрического анализа.
Не имея рабочего кабинета, в те дни я практически жил в математической библиотеке Беркли. Ходят слухи, будто первой моей целью по прибытию в Соединенные Штаты стало посещение этой библиотеки, а не, скажем, осмотр достопримечательностей Сан-Франциско, на чем, возможно, остановили бы свой выбор другие. И хотя я и не могу вспомнить точно, чем я занимался сорок лет назад, у меня нет оснований сомневаться в достоверности этих слухов. Я имел привычку постоянно прохаживаться по библиотеке, читая каждый журнал, который попадал мне в руки. Однажды, во время упомянутых рождественских каникул, просматривая каталог, я наткнулся на статью Милнора 1968 года, книгу которого я как раз читал в то время. В этой статье, в свою очередь, упоминалась теорема Александре Прайсмана, которая привлекла мое внимание. И поскольку у меня не было каких-либо других занятий (в то время большинство моих коллег разъехались на каникулы), я решил посмотреть, не смогу ли я доказать что-либо, относящееся к теореме Прайсмана.
В своей теореме Прайсман рассмотрел две нетривиальные петли, А и В, на заданной поверхности. Петлей в топологии называется кривая, начинающаяся в определенной точке поверхности и неким образом охватывающая эту поверхность, возвращаясь в конце концов в ту же точку. Нетривиальная означает в данном контексте, что эту петлю нельзя стянуть в точку, не отрывая ее от поверхности. Иными словами, существует некая преграда, не дающая петле стянуться в точку: так, например, петлю, продетую через дырку бублика, можно стянуть в точку, только разрезав этот бублик (после этого петля уже не будет находиться на поверхности, а бублик, с точки зрения топологии, перестанет быть бубликом). Если проследовать вдоль петли А, а затем вдоль петли В, то результирующий путь будет представлять собой новую петлю В×А. Напротив, если сначала обойти вокруг петли В, а потом вокруг петли А, возникнет петля А×В. Прайсман доказал, что в пространстве, кривизна которого всюду отрицательна — подобно внутренней поверхности седла, — петли В×А и А×В можно непрерывно преобразовать одну в другую путем изгиба, растяжения и сжатия только в одном особом случае: а именно, если петлю, кратную петле А (такую петлю можно получить, обойдя вокруг петли А один или целое число раз), можно плавно преобразовать в петлю, кратную петле В. В этом частном случае петли А и В носят название коммутирующих, точно так же, коммутирующими являются операции сложения и умножения (2 + 3 = 3 + 2 и 2 × 3 = 3 × 2), тогда как вычитание и деление некоммутативны (2 – 3 ≠ 3 – 2 и 2/3 ≠ 3/2).
Моя теорема имела несколько более общую форму, чем теорема Прайсмана. Данная теорема была применима к любому пространству неположительной кривизны (то есть либо отрицательной, либо — в отдельных местах — равной нулю). Для доказательства более общего случая мне пришлось прибегнуть к разделу математики, который никогда до этого не использовался в топологии или дифференциальной геометрии, — к теории групп. Группой в математике называется набор элементов, для которых выполняется определенный набор правил, таких как обязательное присутствие в группе нейтрального (например, единицы) и обратного (например, 1/x для каждого x) элементов. Группа является замкнутой, то есть, проведя определенную операцию над двумя элементами группы (такую, как сложение или умножение), мы получим еще один ее элемент. Помимо этого, в группе должен выполняться ассоциативный закон — а именно a × (b × c) = (a × b) × c.
Элементами той группы, которую рассматривал я (так называемой фундаментальной группы), были петли, которые можно изобразить на поверхности, такие как упоминавшиеся уже петли А и В. В том случае, если в пространстве есть нетривиальные петли, говорят, что пространство имеет нетривиальную фундаментальную группу. И напротив, если каждую петлю в пространстве можно стянуть в точку, то соответствующая фундаментальная группа будет тривиальной. Я доказал, что в том случае, если две петли коммутируют (то есть А × В = В × А), должна существовать «подповерхность» более низкой размерности — а именно имеющая форму тора, — находящаяся где-то внутри данной поверхности.