Приготовления к поиску оценки второго порядка для гипотезы Калаби я закончил летом 1975 года. Год спустя я узнал, что французский математик Тьерри Обен нашел подход к данной оценке независимо от меня. Сделав оценку второго порядка, я также показал ее зависимость от оценки нулевого порядка и продемонстрировал возможность перехода от нулевого порядка ко второму. После окончания работы над этой оценкой оставался только один нерешенный вопрос, от которого теперь зависела судьба всего доказательства, — нахождение оценки нулевого порядка. Из оценки нулевого порядка я уже мог получить оценку как второго, так и первого порядка — в качестве бесплатного приложения к уже найденным, поскольку из оценок нулевого и второго порядков оценка первого порядка следует автоматически. Это было чистой воды везение. Фигурально выражаясь, так легли карты и, в целом, легли они весьма неплохо. Оценка третьего порядка также оказалась зависящей от оценок нулевого и второго порядков — то есть все свелось к нахождению оценки нулевого порядка. Знание этой оценки должно было расставить все остальное на свои места, но без нее все прочее было бы бессмысленно.
Свою работу я заканчивал в Курантовском институте Нью-Йорка, находясь на должности приглашенного сотрудника — эту должность мне помог занять Ниренберг. Вскоре моя невеста Ю-Юн, работавшая до этого в Принстоне, получила предложение работы в Лос-Анджелесе. Не желая разлучаться с ней, я занял другую приглашенную должность в Калифорнийском университете. В 1976 году мы вместе проехали всю страну с востока на запад, собираясь заключить брак сразу же по прибытии в Калифорнию. И действительно, прибыв в Калифорнию, мы тут же обвенчались. Эта поездка запомнилась нам надолго: мы были влюблены друг в друга, природа вокруг поражала своей красотой и большую часть пути мы строили планы на будущую совместную жизнь. Но все же я должен признаться, что даже тогда было нечто, что не давало мне покоя: в моей голове по-прежнему крепко сидела гипотеза Калаби и, в частности, оценка нулевого порядка, которая никак мне не поддавалась. Целый год я бился над ее поисками. В сентябре 1976 года, сразу после нашей свадьбы, мои усилия, наконец, увенчались успехом, и остальные части доказательства тут же встали на свои места. Как оказалось, семейная жизнь была именно тем, чего мне недоставало.
Задача нахождения оценки нулевого порядка аналогична нахождению оценок других порядков: на некое уравнение или функцию необходимо наложить ограничения — как сверху, так и снизу. Иными словами, функцию нужно поместить в воображаемый ящик и показать, что функция «влезет» в него, даже если размеры ящика не будут бесконечно велики. Если это возможно сделать, то функцию можно считать ограниченной сверху. С другой стороны, нужно показать, что функция не настолько мала, чтобы каким-либо образом «просочиться» за пределы ящика, таким образом ограничив ее снизу.
Один из возможных подходов к задаче такого типа состоит в том, чтобы взять абсолютное значение — модуль функции, которое говорит о ее величине в целом вне зависимости от того, положительное или отрицательное значение она принимает. Для того чтобы проверить функцию u, нужно показать, что ее абсолютное значение в любой точке пространства будет меньше постоянной величины c (или равно ей). Поскольку значение c точно определено, необходимо просто показать, что функция u не может произвольно принимать очень большие или очень малые значения. Иными словами, утверждение, которое мы хотим доказать, является простым неравенством, утверждающим, что модуль функции u должен быть меньше или равен c: |u|≤c. И хотя оно выглядит не особо сложным, в том случае, когда u является комплексным объектом, доказательство требует достаточно много усилий.
Я не буду подробно останавливаться на деталях доказательства, отмечу только, что оно основывалось на оценке второго порядка для уравнения Монжа-Ампера, которую я уже сделал ранее. Мне также пригодилось известное неравенство Пуанкаре, а также неравенство, полученное российским математиком Сергеем Соболевым. Оба они содержали возведенные в определенную степень интегралы и производные различных порядков от абсолютного значения u. Последнее, а именно нахождение различных степеней интегралов и производных от u, имело решающее значение для проведения оценок, поскольку, только показав, что интегралы и производные от u в степени p даже при очень больших p все равно остаются ограниченными, можно считать работу выполненной. После этого функцию можно было считать стабильной. В конце концов, с помощью этих неравенств и различных теорем, а также ряда лемм, сформулированных мной по ходу доказательства, я смог это сделать. Когда, наконец, оценка нулевого порядка была получена, работу можно было считать завершенной.
Впрочем, говорят, что нельзя судить о пудинге до тех пор, пока его не попробуешь, — даже если что-то имеет привлекательный вид, окончательный вывод можно сделать только после тщательной проверки. Я не мог слепо полагаться на удачу. Однажды я уже поставил себя в неловкое положение, публично заявив на стэнфордской конференции 1973 года, будто знаю, как опровергнуть гипотезу Калаби. Тогда мое предполагаемое опровержение провалилось, и если бы теперь точно так же провалилось и мое подтверждение гипотезы Калаби, моя репутация как математика оказалась бы под большим вопросом. Я точно знал, что на данном этапе своей карьеры — мне тогда еще не исполнилось тридцати — я не могу позволить себе ошибиться вновь, по крайней мере, в столь важном деле.
Поэтому я проверял и перепроверял свое доказательство, рассмотрев его четыре раза с четырех совершенно разных позиций. Я проверял его столько раз, что поклялся, что если я окажусь неправ, то брошу математику. Но все мои попытки найти огрехи в доказательстве оказались тщетными. Насколько я мог судить, в нем все было идеально. Поскольку в те времена еще не существовало Интернета, где я мог бы просто опубликовать черновик своей статьи и попросить прокомментировать его, я избрал старомодный путь — выслал копию моего доказательства Калаби и отправился в Филадельфию для дальнейшей дискуссии с ним самим и другими геометрами с математического факультета Пенсильванского университета, в том числе и с Джерри Кадзаном.
Калаби счел мое доказательство безупречным, но мы договорились встретиться с Ниренбергом и проработать его вместе шаг за шагом. Так как найти время, когда мы все трое были бы свободны, было весьма непросто, наша встреча пришлась на Рождество 1976 года — единственный день, в который никто из нас не имел неотложных дел. На этой встрече нам так и не удалось найти в доказательстве ни одной ошибки — впрочем, чтобы окончательно удостовериться в правильности доказательства, требовалось намного больше времени. «На первый взгляд оно выглядит весьма правдоподобно, — вспоминал Калаби. — Но чрезвычайная сложность этого доказательства требует еще порядка месяца для более детальной проверки».[53]
По окончании срока, отпущенного на рецензирование, Калаби и Ниренберг выразили свое полное согласие с моим доказательством. С этого момента гипотезу Калаби можно было объявить доказанной, и за прошедшие с того времени тридцать с лишним лет никто так и не смог поколебать это утверждение. На сегодняшний день доказательство гипотезы Калаби выдержало столько проверок, проведенных столь значительным числом ученых, что едва ли можно ожидать обнаружения в нем существенных ошибок в дальнейшем.
Итак, что же мне удалось сделать? Доказательством гипотезы Калаби я еще раз укрепил свое убеждение о том, что важнейшие математические проблемы могут быть разрешены путем объединения геометрии с дифференциальными уравнениями в частных производных. Более конкретно, я доказал существование риччи-плоской метрики для компактных кэлеровых пространств, первый класс Черна для которых обращается в нуль, хотя я и не смог написать точную формулу, определяющую метрику саму по себе. Все, что я мог сказать, — это то, что подобная метрика существовала, но точный ее вид так и остался мне неизвестным.