Можно, однако, получить и более точное описание топологии различных многообразий. Каждое из чисел Бетти представляет собой сумму чисел, называемых числами Ходжа, открытыми шотландским математиком В. В. Д. Ходжом. Эти числа позволяют более пристально взглянуть на подструктуру пространства. Информация о ней содержится в так называемом ромбе Ходжа.
Ромбы Ходжа позволяют нам представить себе «зеркало» в зеркальной симметрии. Таблица из шестнадцати чисел соответствует определенному шестимерному многообразию Калаби-Яу, которое мы обозначим как М. Чтобы получить ромб Ходжа для зеркального многообразия М', нужно нарисовать прямую, проходящую через середины левой нижней и правой верхней сторон. После этого необходимо перевернуть числа Ходжа относительно этой прямой. Модифицированный ромб Ходжа, характеризующий многообразие, является зеркальным партнером исходного, буквально отражением или зеркальным отображением оригинала.
Тот факт, что числа Ходжа для многообразия и его зеркального партнера симметричны относительно диагонали, является следствием, а не объяснением зеркальной симметрии, поскольку это возможно и для двух многообразий, не являющихся зеркальными парами. Взаимосвязь между числами Ходжа для различных многообразий, обнаруженная Грином и Плессером, была не доказательством, а лишь намеком на то, что им удалось обнаружить новое проявление симметрии. Намного более убедительным, по словам Плессера, стало то, что им удалось обнаружить «полную идентичность» физики (или конформных теорий поля) многообразий, являющихся зеркальными парами.[100]
Независимое подтверждение идей Грина и Плессера появилось в том же 1989-м, через несколько дней после того, как они отправили свою статью в печать. Как сообщил Грину Канделас, ему и двум его студентам удалось, перебрав большое количество рассчитанных на компьютере многообразий Калаби-Яу, обнаружить весьма интересную особенность. Они заметили, что эти многообразия образуют пары, в которых число дырок четной размерности для одного многообразия совпадало с числом дырок нечетной размерности для второго. Обнаруженный обмен числом дырок, количеством возможных форм и размеров и числами Ходжа между двумя многообразиями весьма заинтриговал исследователей, хотя и мог быть просто математическим совпадением. По словам Грина, «вполне возможно, что их связь имела такое же отношение к физике, как связь между магазином, в котором молоко продают по доллару, а сок — по два, и магазином, в котором сок стоит два доллара, а молоко — один. Точку в этом вопросе поставило доказательство, найденное мной и Плессером, которым мы показали, что различные пары многообразий Калаби-Яу приводят к одинаковой физике. Это и стало подлинным определением явления зеркальной симметрии — из которого уже проистекали все прочие следствия, — и это гораздо больше, чем простая перестановка двух чисел».[101]
По словам Грина, эти два направления исследований были не только параллельными, но и «взаимодополняющими». В то время когда они с Плессером углубились в исследование физической природы указанных совпадений, Канделасу со своими студентами при помощи их компьютерной программы удалось обнаружить огромное количество многообразий Калаби-Яу, для которых числа Ходжа образовывали зеркальные пары. Когда эти статьи вышли в свет (обе в 1990 году), Грин объявил, что «зеркальная симметрия теории струн» окончательно установлена.[102]
По словам Кумруна Вафы, он был счастлив, увидев доказательство, в которое он внес заметный вклад, — хотя и никогда не сомневался в существовании зеркальной симметрии. «Я иногда говорю, что если бы мы сформулировали эту теорию без каких-либо известных примеров, то это было бы намного более смелым шагом с нашей стороны», — иронизирует он.[103]
Сначала я был настроен по отношению к исследовательской программе Вафы и Грина скептически, поскольку, как я неоднократно говорил им, все многообразия Калаби-Яу, обнаруженные на тот момент, имели отрицательные эйлеровы характеристики. Если их предположения имели под собой реальную основу и многообразия с противоположными знаками эйлеровых характеристик действительно образовывали пары, то число многообразий с положительными эйлеровыми характеристиками должно было быть примерно таким же, как и число многообразий с отрицательными эйлеровыми характеристиками, поскольку эйлеровы характеристики многообразия и его зеркального партнера имеют противоположные знаки. К счастью, эти рассуждения не заставили Вафу, Грина, Плессера и других отказаться от исследований, посвященных поиску нового типа симметрии. Мораль этой истории заключается в том, что, вместо того чтобы заранее делать ставки на возможность или невозможность чего-либо, лучше просто взять и проверить. Вскоре после этого нами было обнаружено огромное количество многообразий Калаби-Яу с положительными эйлеровыми характеристиками — достаточно большое, для того чтобы я мог отбросить свои первоначальные сомнения.
Вскоре я попросил Грина выступить перед собранием математиков с докладом по вопросу зеркальной симметрии; этот доклад собирался посетить, в том числе, и такой авторитет, как И. М. Зингер из Массачусетского технологического института. Будучи физиком по образованию, Грин весьма переживал по поводу выступления перед таким большим скоплением людей. Я же посоветовал ему как можно чаще в своей лекции использовать слово «квантовый», зная, какое впечатление оно производит на математиков. Так, зеркальную симметрию я предложил ему описать в терминах «квантовой когомологии» — термина, пришедшего мне в голову в это время.
Объектом исследования когомологии являются циклы, или петли на многообразии, а также типы их пересечения. Циклы, в свою очередь, связаны с подповерхностями в пределах многообразия, также называемыми подмногообразиями, не имеющими границ. Чтобы лучше понять, что имеется в виду под понятием подмногообразия, представьте себе кусок швейцарского сыра в форме шара. Можно, рассматривая этот сырный шар как единое трехмерное пространство, попробовать завернуть его в полиэтиленовую пленку. Но и внутри этого шара можно также найти сотни дырок — подповерхностей в пределах большей поверхности, — которые тоже можно чем-то покрыть или что-то через них пропустить, например резиновую ленту. Подмногообразие представляет собой геометрический объект с четко определенными размером и формой. Для физика цикл — это просто менее строгое определение петли, основанное исключительно на ее топологии, тогда как большинство геометров не видят никакой разницы между циклом и подмногообразием. Тем не менее мы стремимся использовать циклы — подобные окружностям, проходящим через дырку бублика, — для того, чтобы получить информацию о топологии многообразия.
Физикам знаком метод, позволяющий связать квантовую теорию поля с заданным многообразием. Однако поскольку многообразие, как правило, имеет бесконечное число циклов, они обычно прибегают к аппроксимации, сводящей это бесконечное число к конечному, с которым уже можно свободно обращаться. Этот процесс носит название квантования — взяв величину, которая может принимать бесконечное число возможных значений, например частоты радиоволн в FM-диапазоне, только о некоторых из них говорят как о разрешенных. Подобный процесс приводит к введению квантовых поправок в исходное уравнение, которое описывает циклы и, следовательно, когомологию. По этой причине говорят именно о квантовой когомологии.
Как оказалось, существует не единственный способ введения квантовых поправок. Благодаря зеркальной симметрии для любого многообразия Калаби-Яу можно построить эквивалентный ему с физической точки зрения зеркальный партнер. Многообразия, являющиеся зеркальными партнерами, описываются двумя различными по виду, но эквивалентными по сути вариантами теории струн, типа IIA и типа IIB, которые описывают одну и ту же квантовую теорию поля. Мы можем сделать эти расчеты относительно легко для модели В, где квантовые поправки оказываются равными нулю. Расчет же для модели А, в которой квантовые поправки в нуль не обращаются, практически невозможен.
Примерно через год после выхода статьи Грина и Плессера, внимание математического сообщества привлекло новое открытие в области зеркальной симметрии. Канделасу, Ксении де ла Осса, Полу Грину и Линде Паркс удалось показать, что зеркальная симметрия может оказать помощь при разрешении математических задач, в частности в области алгебраической и нумеративной геометрии, в том числе некоторых из тех, что не поддавались математикам на протяжении десятилетий. Задача, которую рассмотрел Канделас со своими коллегами, носила название задачи трехмерной поверхности пятого порядка и в то время была у всех на слуху. Свое второе название — задача Шуберта — она получила в честь немецкого математика XIX века Германа Шуберта, решившего ее первую часть. Задача Шуберта имеет отношение к определению количества рациональных кривых — то есть кривых рода 0, не имеющих дырок, таких как сфера, — которые можно провести на многообразии Калаби-Яу пятого порядка (шестимерном).