Как только Строминджер и Вафа смоделировали черную дыру, они смогли применить формулу Бекенштайна-Хокинга для расчета энтропии на основании площади горизонта событий. Следующим шагом был расчет числа способов конфигурирования D-бран во внутреннем пространстве так, чтобы это число соответствовало конструкции черной дыры заданного результирующего заряда и массы. Затем энтропию, вычисленную таким способом, равную логарифму числа состояний, сравнили со значением энтропии, полученным исходя из площади горизонта событий, и значения энтропий совпали. «Они утерли всем нос, получив и четверку в знаменателе, и ньютоновскую константу, и все остальное», — говорит гарвардский физик Фредерик Денеф. Денеф добавляет, что после двадцати лет попыток «мы, наконец, получили первый расчет энтропии черной дыры методами статистической механики».[139]
Это был главный успех Строминджера и Вафа, а также успех теории струн. Инь пояснил, что связь между D-бранами и черными дырами получила серьезный аргумент в свою пользу, и, кроме того, два физика показали, что само описание D-бран является фундаментальным. «Вас, вероятно, интересует, можно ли брану разложить на составляющие? Построена ли она из более мелких частиц? Сейчас мы уверены, что у браны не существует никаких дополнительных структур, потому что физики получили верное значение энтропии, а энтропия, по определению, пропорциональна числу всех состояний».[140] Если бы брана состояла из различных частиц, то она имела бы больше степеней свободы и, следовательно, больше комбинаций, которые необходимо было бы учитывать при расчете энтропии. Но результат, полученный в 1996 году, показывает, что это не так. Брана — это все, что есть. Хотя браны, имеющие различное число измерений, выглядят по-разному, ни одна из них не имеет субкомпоненты и не может быть разложена на составляющие. Аналогичным образом теория струн придерживается положения, что струна — одномерная брана в М-теории — это все, что есть, и она не может быть разделена на более мелкие части. Несмотря на то что соответствие между двумя очень разными методами расчета энтропии было встречено с энтузиазмом, оно вызвало удивление. «На первый взгляд кажется, что информационный парадокс черной дыры не имеет ничего общего с многообразиями Калаби-Яу, — заявляет физик Аарон Симонс из Брауновского университета. — Но ключом к ответу на этот вопрос оказался расчет математических объектов внутри многообразия Калаби-Яу».[141]
Рис. 8.3а. Гарвардский физик Эндрю Строминджер (фотография Криса Сниббе, Гарвардский университет)
Рис. 8.3б. Гарвардский физик Кумрун Вафа (фотография Стефани Митчелл, Новый офис Гарвардского университета)
Строминджер и Вафа не разрешили до конца информационный парадокс, хотя детальное описание черной дыры, к которому они пришли через теорию струн, показало, как именно могла бы сохраняться информация. Огури заявил, что они выполнили самый важный первый этап исследования, «показав, что энтропия черной дыры такая же, как и энтропия других макроскопических систем», включая горящую книгу из нашего предыдущего примера. Обе содержат информацию, которая, по крайней мере потенциально, является восстановимой.
Конечно, результаты 1996 года были только началом, поскольку первый расчет энтропии имел мало общего с реальными астрофизическими черными дырами. Черные дыры в модели Строминджера-Вафа, в отличие от тех, что мы наблюдаем в природе, были суперсимметричными — условие, необходимое для того, чтобы выполнить расчет. Тем не менее эти результаты можно распространить и на не суперсимметричные черные дыры. Как объясняет Симонс: «Независимо от суперсимметрии, все черные дыры содержат сингулярность. Это их главная определяющая черта, и по этой причине они являются “парадоксальными”. В случае суперсимметричных черных дыр теория струн помогла нам понять, что происходит вокруг этой сингулярности, и есть надежда, что результат не зависит от того, является объект суперсимметричным или нет».[142]
Кроме того, в статье 1996 года описан искусственный случай компактного пятимерного внутреннего пространства и плоского некомпактного пятимерного внешнего пространства. Но обычно пространство-время в теории струн подобным способом не рассматривается. Вопрос в том, применима ли эта модель к более распространенной модели: шестимерному внутреннему пространству и черной дыре, находящейся в плоском, четырехмерном пространстве? Ответ был дан в 1997 году, когда Строминджер вместе с Хуаном Малдасеной — тогда гарвардским физиком, и Эдвардом Виттеном опубликовали статью о своей первой работе, в которой использовалось более знакомое устройство шестимерного внутреннего пространства (разумеется, Калаби-Яу) и расширенного четырехмерного пространства-времени.[143] Воспроизведя расчет энтропии для трехмерного многообразия Калаби-Яу, Малдасена сказал, что «пространства, в которое вы помещаете браны, имеет более слабую суперсимметрию», и поэтому они ближе к реальному миру, а «пространство, в которое вы помещаете черные дыры, имеет четыре измерения, что соответствует нашим предположениям».[144] Кроме того, совпадение с расчетом Бекенштайна-Хокинга оказалась даже более сильным, потому что, как объясняет Малдасена, вычисление энтропии на основании площади горизонта событий является точным, только когда горизонт событий очень большой, а кривизна — очень маленькая. Когда размер черных дыр сокращается, а вместе с ним сокращается и площадь поверхности, приближение в рамках теории общей относительности становится хуже и необходимо вводить «поправки на квантовую гравитацию» в теорию Эйнштейна. В то время как первоначальная статья рассматривала только «крупные» черные дыры — крупные по сравнению с планковским масштабом, — для которых было достаточно учета эффектов, следующих из общей теории относительности — так называемого терма первого порядка, расчет 1997 года дал также первый квантовый терм в дополнение к первому гравитационному. Другими словами, согласие между двумя разными способами расчета энтропии стало гораздо лучше. В 2004 году Огури, Строминджер и Вафа пошли еще дальше, обобщив результаты 1996 года на любой вид черной дыры, которую можно сконструировать обертыванием браны вокруг цикла в регулярном трехмерном многообразии Калаби-Яу, независимо от ее размера, и следовательно, независимо от вклада квантово-механических эффектов. Авторы статьи показали, как вычислить квантовые поправки к теории гравитации не только для первых нескольких термов, но и для всего ряда, содержащего бесконечное количество термов.[145] Вафа пояснил, что, добавив в разложение новые термы, «мы получили более точный способ расчета и более точный ответ и, к счастью, даже более сильное согласие, чем раньше».[146] Это именно тот подход, который мы обычно пытаемся применить в математике и физике: если мы находим что-то, что работает в особых условиях, то пытаемся рассмотреть более общий случай, будет ли оно работать в менее жестких условиях, и, соответственно, определить, как далеко мы можем зайти.
Хочу рассмотреть еще одно обобщение оригинальной работа Строминджера-Вафа, которое носит даже более общий характер, чем то, что мы уже обсуждали. Идея под труднопроизносимым названием «соответствие пространства анти-де-Ситтера и конформной теории поля» или проще: «AdS/CFT-соответствие» была первоначально предложена Малдасеной в 1997 году и затем детально разработана Игорем Клебановым в Принстоне, Эдвардом Виттеном и другими. Чтобы понять идею Малдасены, воспользуемся аналогией. Например, можно посмотреть один и тот же фильм на DVD и на 70-миллиметровой бобине — это мы и называем соответствием. Гипотеза AdS/CFT-соответствия предполагает, что в некоторых случаях теория гравитации, такая как теория струн, может быть полностью эквивалентна стандартной квантовой теории поля, или конформной теории поля, если быть точным. Это удивительное соответствие, потому что оно связывает теорию квантовой гравитации с теорией, в которой гравитации нет вообще.
AdS/CFT является результатом дуальной картины D-бран, о чем мы уже говорили. При очень слабой связи сеть из D-бран, обертывающих циклы в многообразии Калаби-Яу, не влияет на оцениваемое гравитационное притяжение и лучше описывается квантовой теорией поля — теорией, в которой гравитации нет вообще. Однако при сильной связи этот конгломерат из бран лучше рассматривать как черную дыру — систему, которую можно описать только теорией, включающей гравитацию. Несмотря на существенную роль многообразия Калаби-Яу для работы, лежащей в основе гипотезы соответствия, идея Малдасены первоначально не включала эти многообразия. Однако последующие попытки более строго и развернуто определить это соответствие, например попытки Клебанова и других, а также небольшой вклад, который внесли в этот раздел физики я и Джеймс Спаркс, мой бывший гарвардский научный сотрудник, работающий сейчас в Оксфорде, уже непосредственно включали многообразия Калаби-Яу, в частности сингулярности Калаби-Яу. «Пространства Калаби-Яу — это среда, в которой соответствие было изучено полнее всего и понято лучше всего», — заявляет Спаркс.[147]