Слово геометрия, произошедшее от слов гео (земля) и метрео (измеряю) изначально значило «измерение земли». Но сейчас это слово используется в гораздо более общем значении — «измерение пространства», хотя пространство само по себе и не является достаточно строго определяемым понятием. Как сказал однажды Георг Фридрих Бернхард Риман: «Геометрия предполагает заданными заранее как понятие пространства, так и первые основные понятия, которые нужны для выполнения пространственных построений, давая таким образом лишь номинальные определения понятий».[14]
Как бы странно это ни прозвучало, но мы предпочитаем сохранять понятие пространства весьма расплывчатым по той причине, что оно подразумевает многое, для чего мы не имеем других обозначений. Таким образом, эта неопределенность в каком-то плане удобна. К примеру, когда мы рассматриваем вопрос о размерности пространства или размышляем о его форме как единого целого, мы могли бы отнести эти рассуждения и ко всей Вселенной. В более узком значении понятие пространства может относиться как к весьма простой геометрической конструкции, такой как точка, линия, плоскость, сфера или тор — все те типы геометрических фигур, которые способен нарисовать студент, так и к гораздо более сложным и неизмеримо более трудноизображаемым объектам.
Представим, к примеру, что у нас имеется некая совокупность точек, расположенных совершенно случайным образом, и что при этом абсолютно невозможно ввести определение расстояния между ними. С точки зрения математики это пространство не будет иметь геометрии; это будет просто случайный набор точек. Однако стоит лишь ввести некую измерительную функцию, дающую возможность рассчитывать расстояния между любыми двумя точками, называемую метрикой, как пространство неожиданно приобретает упорядоченность. Теперь оно характеризуется определенной геометрией. Иными словами, метрика предоставляет всю информацию, необходимую для того, чтобы сделать вывод о форме пространства, на котором она задана. Вооружившись способом измерять форму пространства, можно с большой точностью определить, является ли пространство плоским, и установить степень его отклонения от плоскости, или, иными словами, вычислить кривизну пространства, что я лично нахожу наиболее интересным.
Таким образом, геометрия представляет собой нечто большее, чем просто набор методов для измерения расстояний — что, разумеется, не принижает измерительную функцию геометрии, которой я также восхищаюсь, — геометрия является одним из основных доступных нам способов исследования Вселенной. Физика и космология уже по одному своему названию играют главные роли в понимании Вселенной. Роль геометрии, хотя и менее заметна, но так же важна. Я даже рискну сказать, что геометрия не только заслуживает места за одним столом с физикой и космологией, но во многих отношениях она и является этим столом.
Это действительно так, поскольку вся вселенская драма — сложнейший танец частиц, атомов, звезд и других объектов, постоянно изменяющихся, движущихся, взаимодействующих, — разыгрывается на подмостках, называемых «пространством», и ее никогда не понять без понимания существенных особенностей самого пространства. Пространство представляет собой нечто гораздо большее, чем просто театральный задник, по сути оно обусловливает важнейшие физические свойства тех объектов, которые в нем находятся. Действительно, как принято считать в настоящее время, материя или частицы, покоящиеся или движущиеся в пространстве, на самом деле являются частями этого пространства, или, точнее, пространственно-временного континуума. Геометрия в свою очередь может накладывать ограничения на поведение пространственно-временного континуума и физических систем в целом — ограничения, которые можно обнаружить исходя исключительно из принципов математики и логики.
Рассмотрим, например, климат Земли. Хотя это и не очевидно, геометрия оказывает существенное влияние на климат — в этом случае основную роль играет форма нашей планеты. Если бы мы жили не на поверхности сферы, а на поверхности тора или бублика, то наша жизнь — так же, как и климат нашей планеты, — была бы совершенно другой.
На сфере все ветры не могут дуть одновременно в одном и том же направлении (например, восточном), так же как не могут иметь одно и то же направление одновременно все океанические течения (как было показано в предыдущей главе). Неизбежно будут существовать точки, такие как Северный и Южный полюсы, где ветры или течения больше не будут иметь восточного направления, в таких точках исчезает само понятие «восточное направление». Иная ситуация складывается на тороидальной поверхности, где подобных препятствий нет, и ветры или течения могут перемещаться в одном и том же направлении по всей поверхности без каких-либо помех. Топологические различия, несомненно, влияют на глобальные процессы циркуляции, однако, если вас интересуют более конкретные климатические последствия, такие как различие сезонных изменений на поверхности сферы и тора, — вам лучше спросить об этом метеоролога.
Область исследований геометрии на самом деле еще шире. Использование геометрии совместно с общей теорией относительности Эйнштейна показало, что масса и энергия Вселенной являются положительными величинами, и, следовательно, четырехмерное пространство-время, в котором мы живем, стабильно. Помимо этого, согласно геометрическим принципам, где-то во Вселенной должны существовать странные места, называемые сингулярностями, расположенные, к примеру, в центрах черных дыр, где плотность вещества стремится к бесконечности и известные нам законы физики перестают работать. В качестве еще одного примера — на этот раз из теории струн — можно привести геометрию загадочных шестимерных пространств, называемых многообразиями Калаби-Яу, в которых предположительно и происходит большая часть важнейших физических процессов. Эта геометрия способна объяснить разнообразие существующих элементарных частиц, предсказывая не только их массу, но и характер сил взаимодействия между ними. Помимо прочего, исследование подобных многомерных пространств позволило выявить возможные причины слабости гравитации по сравнению с другими фундаментальными взаимодействиями, а также дало ключи к открытию механизмов, лежащих в основе инфляционного расширения ранней Вселенной и существования темной энергии, управляющей расширением космического пространства.
Как видите, мои слова о том, что геометрия наряду с физикой и космологией является бесценным орудием для раскрытия секретов Вселенной, не были пустым хвастовством. Более того, если принять во внимание последние успехи математики, которые будут описаны в этой книге, прогресс в области наблюдательной космологии и возникновение теории струн, пытающейся осуществить никому не удавшийся до сих пор великий синтез, складывается впечатление, что эти три направления исследований должны сойтись в одной точке. Следовательно, человеческое познание сейчас стоит на пороге выдающихся открытий и готово сделать огромный шаг вперед, причем геометрия во всех смыслах командует парадом.
Следует помнить, что, куда бы мы ни двигались в области геометрии и что бы мы ни делали, мы не начинаем наш путь с чистого листа. Мы всегда ссылаемся на то, что было установлено до нас: гипотезы, доказательства, теоремы или аксиомы, используя фундамент, который в большинстве случаев был возведен за тысячи лет до этого. В этом смысле геометрию, как и другие науки, можно считать тщательно продуманным строительным проектом. В первую очередь закладывается фундамент, и если он заложен удачно, так сказать, положен на твердую поверхность, то устоит и само здание и надстройки на его крыше, если, конечно, они также сделаны с соблюдением разумных принципов.
В этом, по сути, и состоит красота и сила моего призвания. Если речь идет о математике, от нее всегда ожидают абсолютно точных утверждений. Математическая теорема — это точное утверждение, остающееся непреложной истиной вне зависимости от пространства, времени, мнения людей и авторитетов. Эта особенность математики резко отличает ее от эмпирических наук, в которых основным методом исследования является постановка экспериментов, по результатам которых и принимается или не принимается то или иное утверждение (конечно, после достаточно большого испытательного срока). В этом случае при последующей проверке результаты могут быть пересмотрены, и нельзя быть уверенными на сто процентов, что установленный вами факт — истина в последней инстанции.